Question

[Lil Học Giỏi]

Cho △ ABC có 3 góc nhọn , 3 đường cao AD , BE , CF cắt nhau tại H . Biết rằng ∠ CFE = 45^o .

a) Tính ∠ ACB .

b) Cho CH = 10 cm , tính DE = ? cm .

Answer 1

[Akai Haruma]

Hình vẽ:

Answer 2

[Akai Haruma]

Lời giải:

a) Tứ giác $BFEC$ có 2 góc $\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^0$ và cùng nhìn cạnh $BC$ nên $BFEC$ là tứ giác nội tiếp.

$\Rightarrow \widehat{EBC}=\widehat{CFE}=45^0$

$\Rightarrow \widehat{ACB}=\widehat{ECB}=90^0-\widehat{EBC}=90^0-45^0=45^0$

b)

Xét tam giác $CHD$ và $ABD$ có:

$\widehat{CDH}=\widehat{ADB}=90^0$

$\widehat{HCD}=\widehat{BAD}(=90^0-\widehat{B}$)

$\Rightarrow \triangle CHD\sim \triangle ABD$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{CH}{AB}=\frac{HD}{BD}$

Mà ở phần a ta chỉ ra $\widehat{EBC}=45^0$ nên $\widehat{HBD}=45^0$

$\Rightarrow \triangle HBD$ vuông cân tại $D$. Do đó $HD=BD$

$\Rightarrow CH=AB=10$ (cm)

Dễ chứng minh $AEDB$ là tứ giác nội tiếp

$\Rightarrow \triangle AHB\sim \triangle EHD$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{AB}{ED}=\frac{HB}{HD}=\sqrt{2}$ (do $HBD$ là tg vuông cân tại $D$)

$\Rightarrow ED=\frac{AB}{\sqrt{2}}=\frac{10}{\sqrt{2}}=5\sqrt{2}$ (cm)