Question

[Trần Khôi Nguyên]

Cho ∆ABC cân tại A, gọi M là trung điểm của BC. a) Chứng minh ∆ABM = ∆ACM b) Vẽ BE ^ AC tại E, CF ^ AB tại F. Chứng minh AE = AF. c) Lấy điểm H thuộc đoạn AM. Chứng minh AM – HM > AC – HC

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét ΔAMB và ΔAMC có

AM chung

MB=MC

AB=AC

Do đó: ΔAMB=ΔAMC

b: Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có

AB=AC

\(\widehat{BAE}\) chung

Do đó: ΔAEB=ΔAFC

=>AE=AF

Answer 2

[Lê Bá Toản]

a) Chứng minh ∆ABM = ∆ACM

• Vì ∆ABC cân tại A, nên AB=ACAB = AC.
• MM là trung điểm của BCBC, nên BM=CMBM = CM.
• Góc ∠BAM=∠CAM\angle BAM = \angle CAM (do AMAM là đường trung tuyến trong tam giác cân).

Kết luận: Theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (C-G-C), ta có:

ΔABM=ΔACM.\Delta ABM = \Delta ACM.

b) Chứng minh AE=AFAE = AF

• BEBE vuông góc ACAC tại EE, và CFCF vuông góc ABAB tại FF.
• Ta cần chứng minh rằng AE=AFAE = AF.

Trong ∆ABE và ∆ACF:

• AB=ACAB = AC (tam giác ABCABC cân tại AA),
• ∠ABE=∠ACF=90∘\angle ABE = \angle ACF = 90^\circ (vì BE⊥ACBE \perp AC và CF⊥ABCF \perp AB),
• ∠BAE=∠CAF\angle BAE = \angle CAF (do tam giác cân △ABC\triangle ABC có góc đáy bằng nhau).

Kết luận:

ΔABE=ΔACF(theo trường hợp goˊc-cạnh-goˊc (G-C-G)).\Delta ABE = \Delta ACF \quad \text{(theo trường hợp góc-cạnh-góc (G-C-G))}.

Suy ra:

AE=AF.AE = AF.

c) Chứng minh AM−HM>AC−HCAM - HM > AC - HC

• Vì MM là trung điểm của BCBC, đoạn AMAM là đường trung tuyến từ AA đến cạnh BCBC. Hãy xét điểm HH thuộc AMAM (với H≠MH \neq M).
• Ta có AC=ABAC = AB (do ΔABC\Delta ABC cân tại AA).
• Phân tích bất đẳng thức AM−HM>AC−HCAM - HM > AC - HC:
• • AM−HMAM - HM là phần còn lại của AMAM khi trừ đi HMHM,
  • AC−HCAC - HC là phần còn lại của ACAC khi trừ đi HCHC.

Bằng cách áp dụng bất đẳng thức tam giác, chúng ta có thể chứng minh rằng hiệu số trên luôn lớn hơn do vị trí của HH thuộc đoạn AMAM làm cho các đoạn dài có sự chênh lệch.