Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 2 :
Ta có :
\(\frac{a^2}{b^2+c^2}-\frac{a}{b+c}=\frac{a^2b-ab^2+a^2c-ac^2}{\left(b+c\right)\left(b^2+c^2\right)}=\frac{ab\left(a-b\right)+ac\left(a-c\right)}{\left(b+c\right)\left(b^2+c^2\right)}\)( 1 )
\(\frac{b^2}{c^2+a^2}-\frac{b}{c+a}=\frac{bc\left(b-c\right)+ab\left(b-a\right)}{\left(c+a\right)\left(c^2+a^2\right)}\)( 2 )
\(\frac{c^2}{a^2+b^2}-\frac{c}{a+b}=\frac{ac\left(c-a\right)+bc\left(c-c\right)}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\) ( 3 )
Cộng ( 1 ) , ( 2 ) , ( 3 ) ta được :
\(\left(\frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{c^2+a^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}\right)-\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)\)
\(=ab\left(a-b\right)\left[\frac{1}{\left(b+c\right)\left(b^2+c^2\right)}-\frac{1}{\left(a+c\right)\left(a^2+c^2\right)}\right]\)
\(+ac\left(a-c\right)\left[\frac{1}{\left(b+c\right)\left(b^2+c^2\right)}-\frac{1}{\left(a+b\right)\left(a^2+b62\right)}\right]\)
\(+bc\left(b-c\right)\left[\frac{1}{\left(a+c\right)\left(a^2+c^2\right)}-\frac{1}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\right]\)
Theo đề bài thì \(a,b,c>0\)( các biểu thức trong các dấu ngoặc đều không âm ) \(\Leftrightarrow dpcm\)
Thấy đúng thì tk nka !111
Bài 3:
ta có : \(a^4+b^4\ge2a^2b^2\)
Cộng \(a^4+b^4\) vào 2 vế ta được:
\(2\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a^2+b^2\right)^2\)\(\Leftrightarrow a^4+b^4\ge\frac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)^2\)
Ta cũng có : \(a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\left(a+b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4\ge\frac{1}{8}\left(a+b\right)^4\)
mà theo bài thì \(a+b>1\)\(\Rightarrow dpcm\)
TK MK NKA !!!
ta có \(\left(a+b+c\right)^2=\left(\dfrac{a}{\sqrt{b+c}}\sqrt{b+c}+\dfrac{b}{\sqrt{a+c}}\sqrt{a+c}+\dfrac{c}{\sqrt{a+b}}\sqrt{a+b}\right)^2\)
\(\le\left(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{a+c}+\dfrac{c^2}{a+b}\right)\left(2a+2b+2c\right)\)
\(\Rightarrow VT=\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{a+c}+\dfrac{c^2}{a+b}\ge\dfrac{a+b+c}{2}\left(1\right)\)
lại có : a ,b ,c dương và \(a^2+b^2+c^2=1\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}0< a^2< a< 1\\0< b^2< b< 1\\0< c^2< c< 1\end{matrix}\right.\Rightarrow a+b+c>a^2+b^2+c^2\left(2\right)\)
tu (1) va (2) \(\Rightarrow VT\ge\dfrac{a+b+c}{2}>\dfrac{a^2+b^2+c^2}{2}=\dfrac{1}{2}\)
cái nhức nhối là a>b>c>0 và a2+b2+c2=1 -> khó bt nó rơi ở đâu
Ta có : \(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{b+c}.\frac{b+c}{4}}=a\)
TT : ....
\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{a+c}{4}+\frac{c^2}{a+b}+\frac{a+b}{4}\ge a+b+c\)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge a+b+c-\frac{b+c}{4}-\frac{a+c}{4}-\frac{a+b}{4}=\frac{a+b+c}{2}\)( 1 )
Mà a + b + c > 2 \(\Rightarrow\frac{a+b+c}{2}>1\)( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) \(\Rightarrow\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}>1\)
1) 2( a2 + b2 ) ≥ ( a + b)2
<=> 2a2 + 2b2 - a2 - 2ab - b2 ≥ 0
<=> a2 - 2ab + b2 ≥ 0
<=> ( a - b )2 ≥ 0 ( luôn đúng )
=> đpcm
2) Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương x , y , ta có :
a + b ≥ \(2\sqrt{ab}\)
=> \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) ≥ 2\(\sqrt{\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{y}}\)
=> ( x + y)( \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) ) ≥ \(2\sqrt{xy}\)2\(\sqrt{\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{y}}\)
=> ( x + y)( \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\)) ≥ 4
=> \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) ≥ \(\dfrac{4}{x+y}\)
\(\dfrac{a^2}{b-1}+\dfrac{b^2}{c-1}+\dfrac{c^2}{a-1}\ge12\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{b-1}-4+\dfrac{b^2}{c-1}-4+\dfrac{c^2}{a-1}-4\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2-4b+4}{b-1}+\dfrac{b^2-4c+4}{c-1}+\dfrac{c^2-4a+4}{a-1}\ge0\)
\(a;b;c>1\Leftrightarrow a-1;b-1;c-1>0\)
\(\Leftrightarrow a^2-4b+4+b^2-4c+4+c^2-4a+4\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-2\right)^2+\left(b-2\right)^2+\left(c-2\right)^2\ge0\) (Đúng)
\("="\Leftrightarrow a=b=c=2\)