\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\)+ \...">
K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

31 tháng 7 2017

\(P=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\)

\(=\frac{a}{a^2+b^2+c^2}+\frac{b}{a^2+b^2+c^2}+\frac{c}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\left(1\right)\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có: :

\(\frac{a}{a^2+b^2+c^2}+9a\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\sqrt{9a^2}=6a\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có: 

\(\frac{b}{a^2+b^2+c^2}+9b\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge6b;\frac{c}{a^2+b^2+c^2}+9c\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge6c\)

\(\Rightarrow\frac{a}{a^2+b^2+c^2}+\frac{b}{a^2+b^2+c^2}+\frac{c}{a^2+b^2+c^2}+9\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)\ge6\left(a+b+c\right)\)

Theo BĐT Cauchy-Schwarz thì:

\(9\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)\ge9\cdot\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\cdot\left(a+b+c\right)=3\)

\(\Rightarrow\frac{a}{a^2+b^2+c^2}+\frac{b}{a^2+b^2+c^2}+\frac{c}{a^2+b^2+c^2}\ge6-3=3\)

Và \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\ge\frac{9}{ab+bc+ca}\ge\frac{9}{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}=27\)

Khi đó nhìn vào \(\left(1\right)\) thấy \(P\ge27+3=30\)

Xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

10 tháng 2 2021

có ở trong câu hỏi tương tự nhé

\(S=13\left(\frac{a}{18}+\frac{c}{24}\right)+13\left(\frac{b}{24}+\frac{c}{48}\right)+\left(\frac{a}{9}+\frac{b}{6}+\frac{2}{ab}\right)+\left(\frac{a}{18}+\frac{c}{24}+\frac{2}{ac}\right)+\left(\frac{b}{8}+\frac{c}{16}+\frac{2}{bc}\right)+\left(\frac{a}{9}+\frac{b}{6}+\frac{c}{12}+\frac{8}{abc}\right)\)Cô si các ngoặc là được nhé 

\(1.\)\(Cho\)\(a,b\ge0.\)   \(CM: \)\(a^3b^3\left(a^2-ab+b^2\right)\le\frac{\left(a+b\right)^8}{256}.\)\(2.\)\(Cho\)\(a,b,c\ge0\) và \(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\ge2.\)   \(CM:\)\(abc\le\frac{1}{8}.\)\(3.\)\(Cho\)\(a,b,c,d\ge0\) và \(\frac{a}{1+a}+\frac{2b}{b+1}+\frac{3c}{1+c}\le1.\)   \(CM:\)\(ab^2c^3< \frac{1}{5^6}.\)\(4.\)Với ∀\(a,b,c\ge0.\)   \(CM:\)\(a^4b^2c+b^4c^2a+c^4a^2b\le...
Đọc tiếp

\(1.\)\(Cho\)\(a,b\ge0.\)

   \(CM: \)\(a^3b^3\left(a^2-ab+b^2\right)\le\frac{\left(a+b\right)^8}{256}.\)
\(2.\)\(Cho\)\(a,b,c\ge0\) và \(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\ge2.\)
   \(CM:\)\(abc\le\frac{1}{8}.\)
\(3.\)\(Cho\)\(a,b,c,d\ge0\) và \(\frac{a}{1+a}+\frac{2b}{b+1}+\frac{3c}{1+c}\le1.\)
   \(CM:\)\(ab^2c^3< \frac{1}{5^6}.\)

\(4.\)Với ∀\(a,b,c\ge0.\)
   \(CM:\)\(a^4b^2c+b^4c^2a+c^4a^2b\le a^7+b^7+c^7.\)

\(5.\)\(Cho\)\(a,b,c>0.\)
   \(CM:\)\(\frac{a^5}{b^3c}+\frac{b^5}{c^3a}+\frac{c^5}{a^3b}\ge a+b+c.\)

\(6.\)\(Cho\)\(a,b,c>0.\)
   \(CM:\)\(\frac{a^3b}{c}+\frac{b^3c}{a}+\frac{c^3a}{b}\ge ab^2+bc^2+ca^2.\)

\(7.\)\(Cho\)\(a,b,c>0\) và \(a+b+c=3.\)
   \(CM:\)\(\frac{a}{b^2+1}+\frac{b}{c^2+1}+\frac{c}{a^2+1}\ge\frac{3}{2}.\)
\(8.\)\(Cho\)\(a,b,c>0.\)
   \(CM:\)\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{a+b+c}{2}.\)
\(9.\)\(Cho\)\(a,b,c>0\) và \(a+b+c=1.\)
   \(CM:\)\(\frac{ab}{c+1}+\frac{bc}{a+1}+\frac{ca}{b+1}\le\frac{1}{4}.\)

\(10.\)\(Cho\)\(a,b,c>0.\)

   \(CM:\)\(\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab}\le\frac{a+b+c}{2abc}.\)

2
13 tháng 8 2016

\(1.\)\(a^3b^3\left(a^2-ab+b^2\right)\le\frac{\left(a+b\right)^8}{256}\)
\(\Leftrightarrow a^3b^3\left(a^2-ab+b^2\right)\left(a+b\right)\le\frac{\left(a+b\right)^9}{256}\)

\(\Leftrightarrow a^3b^3\left(a+b\right)^3\left(a^3+b^3\right)\le\frac{\left(a+b\right)^{12}}{256}\)

\(VT=ab\left(a+b\right).ab\left(a+b\right).ab\left(a+b\right).\left(a^3+b^3\right)\)

     \(\le\left(\frac{ab\left(a+b\right)+ab\left(a+b\right)+ab\left(a+b\right)+\left(a^3+b^3\right)}{4}\right)^4\)

     \(\le\frac{\left(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\right)^4}{256}\)

     \(\le\frac{\left(a+b\right)^{12}}{256}\left(đpcm\right).\)

14 tháng 8 2016

\(2.\)    \(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\ge2\)
     \(\Leftrightarrow\frac{1}{1+a}\ge1-\frac{1}{1+b}+1-\frac{1}{1+c}\)

                       \(\ge\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}\) 
                       \(\ge2\sqrt{\frac{bc}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\)

   \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{1+b}\ge2\sqrt{\frac{ac}{\left(1+a\right)\left(1+c\right)}}\\\frac{1}{1+c}\ge2\sqrt{\frac{ab}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}}\end{cases}}\)
   \(\Rightarrow\frac{1}{1+a}.\frac{1}{1+b}.\frac{1}{1+c}\ge8\sqrt{\frac{a^2b^2c^2}{\left(1+a\right)^2.\left(1+b\right)^2.\left(1+c\right)^2}}\)\(\frac{1}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\ge\frac{8abc}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\)
\(\Leftrightarrow\)                                 \(1\ge8abc\)

\(\Leftrightarrow\)                            \(abc\ge\frac{1}{8}\left(đpcm\right).\)


 

8 tháng 10 2020

Bài 2:

\(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}+\frac{1}{d+1}=3\Leftrightarrow\frac{1}{a+1}=1-\frac{1}{b+1}+1-\frac{1}{c+1}+1-\frac{1}{d+1}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a+1}=\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{d}{d+1}\ge3\sqrt[3]{\frac{bcd}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}}>0\)

Tương tự:

\(\frac{1}{b+1}\ge3\sqrt[3]{\frac{cda}{\left(c+1\right)\left(d+1\right)\left(a+1\right)}}>0\);\(\frac{1}{c+1}\ge3\sqrt[3]{\frac{dab}{\left(d+1\right)\left(a+1\right)\left(b+1\right)}}>0\);

\(\frac{1}{d+1}\ge3\sqrt[3]{\frac{abc}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}>0\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a+1}.\frac{1}{b+1}.\frac{1}{c+1}.\frac{1}{d+1}\ge3^4\sqrt[3]{\frac{\left(abcd\right)^3}{\left[\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)\right]^3}}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}\ge81\frac{abcd}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}\)

\(\Leftrightarrow abcd\le\frac{1}{81}\)

Dấu "="xảy ra khi \(a=b=c=d?\). Không chắc lắm.

8 tháng 10 2020

Sửa một chút:

Bài 2: Thay dấu "=" bởi lớn hơn hoặc bằng, không có gì cả (nãy nhìn nhầm)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a+1}\ge1-\frac{1}{b+1}+1-\frac{1}{c+1}+1-\frac{1}{d+1}=\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{d}{d+1}\)

\(\ge3\sqrt[3]{\frac{bcd}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}}>0\left(AM-GM\right)\)

31 tháng 7 2017

F>=a^8/2(a^4+b^4)+b^8(b^4+c^4)+c^8/(c^4+a^4)>=(a^4+b^4+c^4)^2/4(a^4+b^4+c^4)=(a^4+b^4+c^4)/4

a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca=1.

3(a^4+b^4+c^4)>=(a^2+b^2+c^2)^2=1>>>a^4+b^4+c^4>=1/3

>>>F>=1/3/4=1/12

Dấu = xảy ra khi a=b=c(tự tính)

nhầm lẫn 1 số chỗ nên giờ mới ra,mong bn thông cảm

ta có:

\(\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ca+c+1}=\frac{1}{bc+b+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{bc}{bc+b+1}=1\)

đặt \(P=\frac{a}{\left(ab+a+1\right)^2}+\frac{b}{\left(bc+b+1\right)^2}+\frac{c}{\left(ca+c+1\right)^2}\)

áp dụng bunhia ta có:

\(P\left(a+b+c\right)\ge\left(\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ca+c+1}\right)^2=1\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{1}{a+b+c}\)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
18 tháng 1 2017

Lời giải:

Từ $abc=1$ suy ra tồn tại $x,y,z>0$ sao cho \((a,b,c)=\left(\frac{x}{y},\frac{y}{z},\frac{z}{x}\right)\)

Bài toán chuyển về CMR:

\(A=\sqrt{\frac{yz}{xy+xz+2yz}}+\sqrt{\frac{xz}{xy+yz+2xz}}+\sqrt{\frac{xy}{2xy+yz+xz}}\leq \frac{3}{4}\)

Áp dụng BĐT AM-GM: \(\sqrt{\frac{yz}{xy+xz+2yz}}\leq \frac{yz}{xy+xz+2yz}+\frac{1}{4}\)

Thiết lập tương tự... \(\Rightarrow A\leq \frac{xy}{2xy+yz+xz}+\frac{yz}{xy+2yz+xz}+\frac{xz}{xy+yz+2xz}+\frac{3}{4}\) $(1)$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\frac{1}{\frac{xy+yz+xz}{3}}+\frac{1}{\frac{xy+yz+xz}{3}}+\frac{1}{\frac{xy+yz+xz}{3}}+\frac{1}{xy}\geq \frac{16}{2xy+yz+xz}\Rightarrow \frac{9xy}{xy+yz+xz}+1\geq \frac{16xy}{2xy+yz+xz}\)

Thiết lập tương tự với các phân thức còn lại và công theo vế:

\(\Rightarrow \frac{xy}{2xy+yz+xz}+\frac{yz}{xy+2yz+xz}+\frac{xz}{xy+yz+2xz}\leq \frac{12}{16}=\frac{3}{4}\) $(2)$

Từ \((1),(2)\Rightarrow A\leq \frac{3}{2} (\text{đpcm})\).

Dấu $=$ xảy ra khi $x=y=z$ hay $a=b=c=1$