Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\frac{a^4}{b^2c}+b+b+c\ge4\sqrt[4]{\frac{a^4b^2c}{b^2c}}=4a\)
Tương tự: \(\frac{b^4}{c^2a}+2c+a\ge4b\) ; \(\frac{c^4}{a^2b}+2a+b\ge4c\)
Cộng vế với vế:
\(VT+3\left(a+b+c\right)\ge4\left(a+b+c\right)\Rightarrow VT\ge a+b+c=5\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{5}{3}\)
đặt \(\sqrt{a}=x;\sqrt{b}=y;\sqrt{c}=z\)
\(\frac{x^2}{y-2}+\frac{y^2}{z-2}+\frac{z^2}{x-2};\)áp dụng bdt co-sy \(\frac{x^2}{y-2}+4\left(y-2\right)\ge2.\sqrt{x^2.4}=4x\)
làm tương tự với \(\frac{y^2}{z-2}+4\left(z-2\right)\ge4y;\frac{z^2}{x-2}+4\left(x-2\right)\ge4x\)
=> M +4(x+y+z -6) \(\ge4\left(x+y+z\right)\)<=> M \(\ge24\)
dấu '=' khi x=y=z=4 hay a=b=c = 16
4/ Xét hiệu: \(P-2\left(ab+7bc+ca\right)\)
\(=5a^2+11b^2+5c^2-2\left(ab+7bc+ca\right)\)
\(=\frac{\left(5a-b-c\right)^2+6\left(3b-2c\right)^2}{5}\ge0\)
Vì vậy: \(P\ge2\left(ab+7bc+ca\right)=2.188=376\)
Đẳng thức xảy ra khi ...(anh giải nốt ạ)
@Cool Kid:
Bài 5: Bản chất của bài này là tìm k (nhỏ nhất hay lớn nhất gì đó, mình nhớ không rõ nhưng đại khái là chọn k) sao cho: \(5a^2+11b^2+5c^2\ge k\left(ab+7bc+ca\right)\)
Rồi đó, chuyển vế, viết lại dưới dạng tam thức bậc 2 biến a, b, c gì cũng được rồi tự làm đi:)
- Áp dụng bđt cộng mẫu
Cho \(x_1;x_2;x_3\in R \)
\(\hept{\begin{cases}\frac{x_1^2}{y_1}+\frac{x_2^2}{y_2}\ge\frac{\left(x_1+x_2\right)^2}{y_1+y_2}\left(1\right)\\\frac{x_1^2}{y_1}+\frac{x_2^2}{y_2}\ge\frac{\left(x_1+x_2+x_3\right)^2}{\left(y_1+y_2+y_3\right)}\left(2\right)\end{cases}}\)
và \(y_1;y_2;y_3\in R\)
CM : +) \(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(y_1+y_2\right)\left(\frac{x_1^2}{y_1}+\frac{x_2^2}{y_2}\right)\ge\left(x_1+x_2\right)^2\)
\(\Leftrightarrow x_1^2+x_2^2+\frac{y_2}{y_1}x_1^2+\frac{y_1}{y_2}x_2^2\ge x_1^2+x_2^2+2x_1x_2\)
\(\Leftrightarrow\frac{y_2}{y_1}x_1^2+\frac{y_1}{y_2}x_2^2\ge2x_1x_2\)( đúng do Cauchy )
+) Để CM (2) , ta áp dụng liên tiếp 2 lần (1)
(1) (2)
\(VT\left(2\right)\ge\frac{\left(x_1+x_1\right)^2}{y_1+y_2}+\frac{x_3^2}{y_3}\ge\frac{\left(x_1+x_2+x_3\right)^2}{y_1+y_2+y_3}\)
+) Với cách này ra có thể cm bđt " cộng mẫu " tổng quát sau :
\(\frac{x_1^2}{y_1}+......+\frac{x_1^2}{y_2}\ge\frac{\left(x_1+........+x_n\right)^2}{y_1+...........+y_n}\)
- Áp dụng bđt cộng mẫu , ta có :
\(P=\frac{\sqrt{a}^2}{2\sqrt{b}-5}+\frac{\sqrt{b}^2}{2\sqrt{c}-5}+\frac{\sqrt{c}^2}{2\sqrt{a}-5}\ge\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)-15}\ge\frac{S^2}{2S-15}\)
( Trong đó \(S=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}>3\frac{5}{2}=\frac{15}{2}\))
- Đặt U = 2S - 15
+) u > 0
+) \(S=\frac{u+15}{2}\)
\(P\ge\frac{1}{4}.\frac{\left(u+15\right)^2}{u}=\frac{1}{4}\left(u+\frac{15^2}{u}+30\right)\)
\(\ge\frac{1}{4}\left(2\sqrt{u.\frac{15^2}{u}}+30\right)\left(Cauchy\right)\)
\(\ge15\)
Ta có: \(a,b,c>\frac{25}{4}\Rightarrow2\sqrt{a}-5>0,2\sqrt{b}-5>0,2\sqrt{c}-5>0\)
Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương ta có:
\(\frac{a}{2\sqrt{b}-5}+2\sqrt{b}-5\ge2\sqrt{a}\) (1)
\(\frac{b}{2\sqrt{c}-5}+2\sqrt{c}-5\ge2\sqrt{b}\) (2)
\(\frac{a}{2\sqrt{a}-5}+2\sqrt{a}-5\ge2\sqrt{c}\) (3)
Cộng vế theo vế của (1), (2), (3) ta có: \(Q\ge5.3=15\)
Dấu '=' xảy ra <=> a=b=c=25 ( TMĐK)
Vậy Min Q =15 <=> a=b=c=25
a) x4+x3+2x2+x+1=(x4+x3+x2)+(x2+x+1)=x2(x2+x+1)+(x2+x+1)=(x2+x+1)(x2+1)
b)a3+b3+c3-3abc=a3+3ab(a+b)+b3+c3 -(3ab(a+b)+3abc)=(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)((a+b)2-(a+b)c+c2)-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+2ab+b2-ac-ab+c2-3ab)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)
c)Đặt x-y=a;y-z=b;z-x=c
a+b+c=x-y-z+z-x=o
đưa về như bài b
d)nhóm 2 hạng tử đầu lại và 2hangj tử sau lại để 2 hạng tử sau ở trong ngoặc sau đó áp dụng hằng đẳng thức dề tính sau đó dặt nhân tử chung
e)x2(y-z)+y2(z-x)+z2(x-y)=x2(y-z)-y2((y-z)+(x-y))+z2(x-y)
=x2(y-z)-y2(y-z)-y2(x-y)+z2(x-y)=(y-z)(x2-y2)-(x-y)(y2-z2)=(y-z)(x2-2y2+xy+xz+yz)
Áp dụng bđt Bunyakovsky dạng phân thức ta có :
\(P=\left(\frac{a}{a+b}\right)^4+\left(\frac{b}{b+c}\right)^4+\left(\frac{c}{c+a}\right)^4\ge\frac{\left[\left(\frac{a}{a+b}\right)^2+\left(\frac{b}{b+c}\right)^2+\left(\frac{c}{c+a}\right)^2\right]^2}{3}\)(1)
Tiếp tục sử dụng bđt Bunyakovsky dạng phân thức ta có :
\(\left(\frac{a}{a+b}\right)^2+\left(\frac{b}{b+c}\right)^2+\left(\frac{c}{c+a}\right)^2\ge\frac{\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\right)^2}{3}\)(2)
Đặt \(A=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\)
Áp dụng bđt Cauchy ta có :
\(\frac{a}{a+b}+\frac{a+b}{4a}\ge2\sqrt{\frac{a}{a+b}\cdot\frac{a+b}{4a}}=1\)
=> \(A+\frac{a+b}{4a}+\frac{b+c}{4b}+\frac{c+a}{4c}\ge3\)
=> \(A+\frac{a}{4a}+\frac{b}{4a}+\frac{b}{4b}+\frac{c}{4b}+\frac{c}{4c}+\frac{a}{4c}\ge3\)
=> \(A+\frac{3}{4}+\frac{b}{4a}+\frac{c}{4b}+\frac{a}{4c}\ge3\)
Theo Cauchy ta có : \(\frac{b}{4a}+\frac{c}{4b}+\frac{a}{4c}\ge3\sqrt[3]{\frac{b}{4a}\cdot\frac{c}{4b}+\frac{a}{4c}}=\frac{3}{4}\)
=> \(A+\frac{3}{4}+\frac{3}{4}\ge3\)=> \(A\ge\frac{3}{2}\)(3)
Từ (1), (2) và (3) => \(P\ge\frac{3}{16}\)
Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c
Vậy MinP = 3/16 <=> a = b = c
Ta có:
\(P=\left(\frac{a}{a+b}\right)^4+\left(\frac{b}{b+c}\right)^4+\left(\frac{c}{c+a}\right)^4=\left(\frac{1}{1+\frac{b}{a}}\right)^4+\left(\frac{1}{1+\frac{c}{b}}\right)^4+\left(\frac{1}{1+\frac{a}{c}}\right)^4\)
Đặt \(\left(\frac{b}{a},\frac{c}{b},\frac{a}{c}\right)=\left(x,y,z\right)\left(x,y,z>0\right)\) \(\Rightarrow xyz=1\)
Khi đó: \(P=\frac{1}{\left(1+x\right)^4}+\frac{1}{\left(1+y\right)^4}+\frac{1}{\left(1+z\right)^4}\)
\(\ge3\left[\frac{1}{\left(1+x\right)^2}+\frac{1}{\left(1+y\right)^2}+\frac{1}{\left(1+z\right)^2}\right]^2\)
Ta có: \(\left(1+xy\right)\left(1+\frac{x}{y}\right)\ge\left(1+x\right)^2\Leftrightarrow\left(1+x\right)^2\le\frac{\left(1+xy\right)\left(x+y\right)}{y}\)( Bunyakovsky)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{\left(1+x\right)^2}\ge\frac{y}{\left(1+xy\right)\left(x+y\right)}\) ; tương tự: \(\frac{1}{\left(1+y\right)^2}\ge\frac{x}{\left(1+xy\right)\left(x+y\right)}\)
Áp dụng BĐT Cauchy: \(\frac{1}{\left(1+z\right)^2}+\frac{1}{4}\ge2\sqrt{\frac{1}{\left(1+z\right)^2}\cdot\frac{1}{4}}=\frac{1}{1+z}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\left(1+z\right)^2}\ge\frac{1}{1+z}-\frac{1}{4}\)
Khi đó: \(P\ge\frac{1}{3}\left[\frac{x}{\left(1+xy\right)\left(x+y\right)}+\frac{y}{\left(1+xy\right)\left(x+y\right)}+\frac{1}{1+z}-\frac{1}{4}\right]^2\)
\(=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{1+xy}+\frac{1}{1+z}-\frac{1}{4}\right)^2=\frac{1}{3}\left(\frac{xyz}{xyz+xy}+\frac{1}{1+z}-\frac{1}{4}\right)^2\)
\(=\frac{1}{3}\left(\frac{z}{1+z}+\frac{1}{1+z}-\frac{1}{4}\right)^2=\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{4}\right)^2=\frac{3}{16}\)
Dấu "=" xảy ra khi: a = b = c
Vậy Min(P) = 3/16 khi a = b = c