Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
gt <=> \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1\)
Đặt: \(\frac{1}{a}=x;\frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z\)
=> Thay vào thì \(VT=\frac{\frac{1}{xy}}{\frac{1}{z}\left(1+\frac{1}{xy}\right)}+\frac{1}{\frac{yz}{\frac{1}{x}\left(1+\frac{1}{yz}\right)}}+\frac{1}{\frac{zx}{\frac{1}{y}\left(1+\frac{1}{zx}\right)}}\)
\(VT=\frac{z}{xy+1}+\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{zx+1}=\frac{x^2}{xyz+x}+\frac{y^2}{xyz+y}+\frac{z^2}{xyz+z}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+3xyz}\)
Có BĐT x, y, z > 0 thì \(\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\ge9xyz\)Ta thay \(xy+yz+zx=1\)vào
=> \(x+y+z\ge9xyz=>\frac{x+y+z}{3}\ge3xyz\)
=> Từ đây thì \(VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\frac{x+y+z}{3}}=\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)\ge\frac{3}{4}.\sqrt{3\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{3}{4}.\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\)
=> Ta có ĐPCM . "=" xảy ra <=> x=y=z <=> \(a=b=c=\sqrt{3}\)
Dat \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)=\left(x,y,z\right)\)
thi \(P= \Sigma \frac{z^2}{x+y} \geq \frac{x+y+z}{2} \) (1)
Mat khac co \(x+y+z=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=3\) (2)
Tu (1) va (2) suy ra \(P\ge\frac{3}{2}\).Dau = xay ra khi \(a=b=c=1\)
1) \(\Sigma\frac{a}{b^3+ab}=\Sigma\left(\frac{1}{b}-\frac{b}{a+b^2}\right)\ge\Sigma\frac{1}{a}-\Sigma\frac{1}{2\sqrt{a}}=\Sigma\left(\frac{1}{a}-\frac{2}{\sqrt{a}}+1\right)+\Sigma\frac{3}{2\sqrt{a}}-3\)
\(\ge\Sigma\left(\frac{1}{\sqrt{a}}-1\right)^2+\frac{27}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}-3\ge\frac{27}{2\sqrt{3\left(a+b+c\right)}}-3=\frac{3}{2}\)
Theo Svac - xơ có :
\(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\ge\frac{9}{ab+bc+ca}\)
Khi đó \(P\ge\frac{9}{ab+bc+ca}+\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\)
\(=\left(\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\right)+\frac{7}{ab+bc+ca}\)
\(\ge\frac{9}{a^2+b^2+c^2+2.\left(ab+bc+ca\right)}+\frac{7}{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}\)
\(=\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}+\frac{21}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{30}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{10}{3}\)
Dấu "=: xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Vậy \(P_{min}=\frac{10}{3}\) khi \(a=b=c=1\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô - si cho 2 số không âm, ta có:
\(\frac{a^2+6a+3}{a^2+a}=\frac{\left(3a^2+3\right)+6a-2a^2}{a^2+a}\ge\frac{6a+6a-2a^2}{a^2+a}\)
\(=\frac{12a-2a^2}{a^2+a}=\frac{14}{a+1}-2\)
Tương tự ta có: \(\frac{b^2+6b+3}{b^2+b}\ge\frac{14}{b+1}-2\);\(\frac{c^2+6c+3}{c^2+c}\ge\frac{14}{c+1}-2\)
Cộng từng vế của 3 bất đẳng thức trên và sử dụng BĐT Bunhiacopxki dạng phân thức, ta được:
\(A\ge14\left(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\right)-6\ge14.\frac{9}{a+b+c+3}-6\)
\(\ge14.\frac{9}{3+3}-6=15\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
Cách 2, dùng UCT xét BĐT phụ
Xét BĐT phụ: \(\frac{x^2+6x+3}{x^2+x}\ge\frac{-7}{2}x+\frac{17}{2}\)(*)
Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\frac{\left(7x+6\right)\left(x-1\right)^2}{2\left(x^2+x\right)}\ge0\)(Đúng với mọi x dương)
Áp dụng, ta được: \(A=\frac{a^2+6a+3}{a^2+a}+\frac{b^2+6b+3}{b^2+b}+\frac{c^2+6c+3}{c^2+c}\)\(\ge\frac{-7}{2}\left(a+b+c\right)+\frac{17}{2}.3=\ge\frac{-7}{2}.3+\frac{51}{2}=15\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
Bài 4: Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có: \(P=\text{}\Sigma_{cyc}a\sqrt{b^3+1}=\Sigma_{cyc}a\sqrt{\left(b+1\right)\left(b^2-b+1\right)}\le\Sigma_{cyc}a.\frac{\left(b+1\right)+\left(b^2-b+1\right)}{2}=\Sigma_{cyc}\frac{ab^2+2a}{2}=\frac{1}{2}\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)+3\)Giả sử b là số nằm giữa a và c thì \(\left(b-a\right)\left(b-c\right)\le0\Rightarrow b^2+ac\le ab+bc\)\(\Leftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2\le a^2b+abc+bc^2\le a^2b+2abc+bc^2=b\left(a+c\right)^2=b\left(3-b\right)^2\)
Ta sẽ chứng minh: \(b\left(3-b\right)^2\le4\)(*)
Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\left(b-4\right)\left(b-1\right)^2\le0\)(đúng với mọi \(b\in[0;3]\))
Từ đó suy ra \(\frac{1}{2}\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)+3\le\frac{1}{2}.4+3=5\)
Đẳng thức xảy ra khi a = 2; b = 1; c = 0 và các hoán vị
Bài 1: Đặt \(a=xc,b=yc\left(x,y>0\right)\)thì điều kiện giả thiết trở thành \(\left(x+1\right)\left(y+1\right)=4\)
Khi đó \(P=\frac{x}{y+3}+\frac{y}{x+3}+\frac{xy}{x+y}=\frac{x^2+y^2+3\left(x+y\right)}{xy+3\left(x+y\right)+9}+\frac{xy}{x+y}\)\(=\frac{\left(x+y\right)^2+3\left(x+y\right)-2xy}{xy+3\left(x+y\right)+9}+\frac{xy}{x+y}\)
Có: \(\left(x+1\right)\left(y+1\right)=4\Rightarrow xy=3-\left(x+y\right)\)
Đặt \(t=x+y\left(0< t< 3\right)\Rightarrow xy=3-t\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{t^2}{4}\Rightarrow t\ge2\)(do t > 0)
Lúc đó \(P=\frac{t^2+3t-2\left(3-t\right)}{3-t+3t+9}+\frac{3-t}{t}=\frac{t}{2}+\frac{3}{t}-\frac{3}{2}\ge2\sqrt{\frac{t}{2}.\frac{3}{t}}-\frac{3}{2}=\sqrt{6}-\frac{3}{2}\)với \(2\le t< 3\)
Vậy \(MinP=\sqrt{6}-\frac{3}{2}\)đạt được khi \(t=\sqrt{6}\)hay (x; y) là nghiệm của hệ \(\hept{\begin{cases}x+y=\sqrt{6}\\xy=3-\sqrt{6}\end{cases}}\)
Ta lại có \(P=\frac{t^2-3t+6}{2t}=\frac{\left(t-2\right)\left(t-3\right)}{2t}+1\le1\)(do \(2\le t< 3\))
Vậy \(MaxP=1\)đạt được khi t = 2 hay x = y = 1
\(3-P=1-\frac{x}{x+1}+1-\frac{y}{y+1}+1-\frac{z}{z+1}\)
\(=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\ge\frac{9}{x+y+z+3}=\frac{9}{1+3}=\frac{9}{4}\)
\(\Rightarrow P\le\frac{3}{4}\)
Dấu "=" xảy ra tại \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
\(P=\sum\frac{a^3}{b^2+ab+bc+ca}=\sum\frac{a^3}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}\)
\(\frac{a^3}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\frac{a+b}{8}+\frac{b+c}{8}\ge\frac{3a}{4}\)
Tương tự và cộng lại:
\(P+\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)\ge\frac{3}{4}\left(a+b+c\right)\Rightarrow P\ge\frac{1}{4}\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{1}{4}\sqrt{3\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{3}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)