Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Giả thiết có: abc+bca+cda+dab = a+b+c+d+\(\sqrt{2012}\)
\(\Leftrightarrow\) (abc+bca+cda+dab-a-b-c-d)2 =2012
\(\Leftrightarrow\) \(\left[\left(abc-c\right)+\left(dab-d\right)+\left(bcd-b\right)+\left(cda-a\right)\right]^2\) = 2012
\(\Leftrightarrow\) \(\left[c\left(ab-1\right)+d\left(ab-1\right)+b\left(cd-1\right)+a\left(cd-1\right)\right]^2\) = 2012
\(\Leftrightarrow\) \(\left[\left(ab-1\right)\left(c+d\right)+\left(ab-1\right)\left(a+b\right)\right]^2\) = 2012
Áp dụng BĐT Bunhia cho 2 cặp số: (ab-1 ; a+b);(cd-1 ; c+d)
Ta có: \(\left[\left(ab-1\right)\left(c+d\right)+\left(ab-1\right)\left(a+b\right)\right]^2\) \(\le\) \(\left[\left(ab-1\right)^2+\left(a+b\right)^2\right]\left[\left(cd-1\right)^2+\left(c+d\right)^2\right]\)
\(\Leftrightarrow\) 2012 \(\le\) ( a2b2-2ab+1+a2+2ab+b2) (c2d2-2cd+1+c2+2cd+d2)
\(\Leftrightarrow\) 2012\(\le\) ( a2b2 +a2+b2+1)(c2d2+c2+d2+1)
\(\Leftrightarrow\) 2012 \(\le\) (a2+1)(b2+1)(c2+1)(d2+1) (đpcm)
\(\text{Ta có: }\frac{a^2}{1}+\frac{1}{a^2}\ge2\)Dấu = xảy ra khi a=1
cách c/m:
\(\text{Xét }a^2=1\Leftrightarrow\frac{a^2}{1}+\frac{1}{a^2}=2\)
\(\text{Xét }a^2>1.\text{Đặt }a^2=k+1\left(k>0\right)\text{ta có:}\frac{k+1}{1}+\frac{1+k-k}{k+1}=\frac{k}{1}+1+1-\frac{k}{k+1}=2+\frac{k^2}{k+1}>2\left(\text{Vì }k>0\right)\)
\(\text{Xét }a^2< 1.\text{Đặt }a^2=1-k,\text{ta có: }\frac{1-k}{1}+\frac{1-k+1}{1-k}=1-\frac{k}{1}+1+\frac{1}{1-k}=2+\frac{k^2-k+1}{1-k}\)
\(k^2-k+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=\left(k-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\)(1)
\(1-k=a^2,a^2>0\Rightarrow1-k>0\)(2)
từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{k^2-k+1}{1-k}>0\Rightarrow2+\frac{k^2-k+1}{1-k}>2\)
\(\text{ }\frac{b^2}{1}+\frac{1}{b^2}\ge2\)Dấu = xảy ra khi b=1
\(\frac{c^2}{1}+\frac{1}{c^2}\ge2\) Dấu = xảy ra khi c=1
\(\Leftrightarrow\left(a^2+\frac{1}{a^2}\right)+\left(b^2+\frac{1}{b^2}\right)+\left(c^2+\frac{1}{c^2}\right)\ge6\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=1\)
??? ghi sai đề ko bạn? =3 chứ ?
p/s: sai sót bỏ qua >:
Bên dưới là chứng minh bằng 3 hay 6 bạn? Sao bằng 6 được nhỉ?
a2+b2+c2=(a+b+c)2<=> ab+bc+ca=0
\(\Rightarrow S=\frac{a^2}{a^2+bc-\left(ab+ca\right)}+\frac{b^2}{b^2+ac-\left(ab+bc\right)}+\frac{c^2}{c^2+ab-\left(bc+ca\right)}\)
\(=\frac{a^2}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}-\frac{b^2}{\left(b-c\right)\left(a-b\right)}-\frac{c^2}{\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)
\(=\frac{a^2\left(b-c\right)-b^2\left(a-c\right)-c^2\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=\frac{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=1\)
M tương tự
Vì a;b;c là 3 cạnh của tam giác nên mỗi nhân tử của VP đều dương,áp dụng bđt Cauchy:
\(\sqrt{\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)}\le\frac{a+b-c+b+c-a}{2}=b\)
\(\sqrt{\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)}\le\frac{b+c-a+a+c-b}{2}=c\)
\(\sqrt{\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)}\le\frac{a+c-b+a+b-c}{2}=a\)
Nhân theo vế => ddpcm "=" khi a=b=c
Làm chữa lỗi phát:v Đến giờ mới nghĩ ra(thực ra là tình cờ xem lại ngày xưa:(
\(VT=\Sigma\frac{\sqrt{\left(a^2+b^2\right)2ab}}{a^2+b^2}\ge\Sigma\frac{2ab}{a^2+b^2}+3-3\)
\(=\Sigma\frac{\left(a+b\right)^2}{a^2+b^2}-3\ge\frac{\left[2\left(a+b+c\right)\right]^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}-3\)
\(=\frac{2\left(a+b+c\right)^2}{\left(a^2+b^2+c^2\right)}-3=\frac{2\left(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\right)}{a^2+b^2+c^2}-3\)
\(=\frac{4\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a^2+b^2+c^2}-3=1\)(qed)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = 1; c = 0 và các hoán vị (xét sơ sơ thôi chớ xét chi tiết em không biết làm đâu:v)
P.s: Chả biết có đúng hay không nữa:(( Lần này mà không đúng thì khổ.