NH
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NC
10 tháng 6 2021
Ta có:\(a\ge b\ge c\ge0\)
\(\Rightarrow a^2\ge b^2\ge c^2\ge0\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^2-b^2\ge0\\b^2-c^2\ge0\\c^2-a^2\ge0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}c^3\left(a^2-b^2\right)\ge0\\a^3\left(b^2-c^2\right)\ge0\\b^3\left(c^2-a^2\right)\ge0\end{cases}}}\)
\(\Rightarrow c^3\left(a^2-b^2\right)+a^3\left(b^2-c^2\right)+b^3\left(c^2-a^2\right)\ge0\)
\(\Rightarrow a^3\left(b^2-c^2\right)+b^3\left(c^2-a^2\right)+c^3\left(a^2-b^2\right)\ge0\)
FF
28 tháng 8 2016
3. abc > 0 nên trog 3 số phải có ít nhất 1 số dương.
Vì nếu giả sử cả 3 số đều âm => abc < 0 => trái giả thiết
Vậy nên phải có ít nhất 1 số dương
Không mất tính tổng quát, giả sử a > 0
mà abc > 0 => bc > 0
Nếu b < 0, c < 0:
=> b + c < 0
Từ gt: a + b + c < 0
=> b + c > - a
=> (b + c)^2 < -a(b + c) (vì b + c < 0)
<=> b^2 + 2bc + c^2 < -ab - ac
<=> ab + bc + ca < -b^2 - bc - c^2
<=> ab + bc + ca < - (b^2 + bc + c^2)
ta có:
b^2 + c^2 >= 0
mà bc > 0 => b^2 + bc + c^2 > 0
=> - (b^2 + bc + c^2) < 0
=> ab + bc + ca < 0 (vô lý)
trái gt: ab + bc + ca > 0
Vậy b > 0 và c >0
=> cả 3 số a, b, c > 0
3 tháng 5 2019
1.a, Ta có: \(\left(a+b\right)^2\ge4a>0\)
\(\left(b+c\right)^2\ge4b>0\)
\(\left(a+c\right)^2\ge4c>0\)
\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\right]^2\ge64abc\)
Mà abc=1
\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\right]^2\ge64\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\ge8\left(đpcm\right)\)
PT
2
T
7 tháng 8 2019
Nguyen Sy Hoc: mình nghĩ đề đâu sai đâu nhỉ?
Có:
\(\frac{a}{1+b^2}=a.\left(1-\frac{b^2}{1+b^2}\right)\ge a\left(1-\frac{b^2}{2b}\right)=a-\frac{ab}{2}\)
Tương tự \(\frac{b}{1+c^2}\ge b-\frac{bc}{2}\); \(\frac{c}{1+a^2}\ge c-\frac{ca}{2}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta thu được:
\(VT\ge\left(a+b+c\right)-\frac{ab+bc+ca}{2}\ge\left(a+b+c\right)-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{6}=\frac{3}{2}^{\left(đpcm\right)}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
VT
0
30 tháng 1 2017
a^2 +b^2 +c^2 =1 chứ không phải là nhỏ hơn 0 . mình giải như sau
a,b,c>0 và a^2 + b^2 + c^2 =1
=>a^2 <1 ;b^2 <1 ; c^2 <1
a/(b^2+c^2) + b/(a^2+c^2) + c/(b^2+a^2) >= (3√3)/2 (a^2 + b^2 + c^2)
<=> a/(1-a^2) + b/(1-b^2)+c/(1-c^2) >= (3√3)/2 (a^2 + b^2 + c^2)
ta cần chứng minh
a/(1-a^2) >= (3√3)/2 a^2
ta có:
a/(1-a^2) >= (3√3)/2 a^2 <=> 1/(1-a^2) >= (3√3)/2 .a
<=> 1 >= (3√3)/2 .a(1-a^2)
<=> 2/(3√3) >= a(1-a^2)
<=> 4/27 >= a^2.(1-a^2)(1-a^2) (**)
áp dụng bđt co sy cho 3 số dương 2a^2 ; 1-a^2 ; 1-a^2
ta có:
2a^2.(1-a^2)(1-a^2) <= (2a^2 + 1-a^2 + 1-a^2)^3/27 = 8/27
=> a^2.(1-a^2)(1-a^2) <= 4/27
=> (**) luôn đúng
=>
a/(1-a^2) >= (3√3)/2 a^2
tương tự ta có:
b/(1-b^2) >= (3√3)/2 . b^2
c/(1-c^2) >= (3√3)/2 .c^2
=> a/(1-a^2) + b/(1-b^2)+c/(1-c^2) >= (3√3)/2 (a^2 + b^2 + c^2) = (3√3)/2
HP
30 tháng 1 2017
cần c/m bđt : a/b+c +b/a+c + c/a+b >= 3/2 với a,b,c>0 (nesbit) (*)
<=>(a/b+c + 1 ) + (b/a+c + 1) + (c/a+b + 1) >= 3/2 + 1 + 1 + 1
<=>(a+b+c)/b+c + (a+b+c)/a+c + (a+b+c)/a+b >= 9/2
<=> 2(a+b+c)(1/a+b + 1/b+c + 1/a+c) >= 9
<=>[(a+b)+(b+c)+(c+a)](1/a+b + 1/b+c + 1/a+c) >= 9 (1)
Đặt x=a+b;y=b+c;z=a+c
(1) <=> (x+y+z)(1/x+1/y+1/z) >= 9
<=>(x/y+y/x)+(y/z+z/y)+(z/x+x/z) >= 6
<=>(x/y+y/x-2)+(y/z+z/y-2)+(z/x+x/z-2) >= 0
<=>(x-y)2/xy+(y-z)2/yz+(z-x)2/zx >= 0(luôn đúng)
Vậy bdt (*) là đúng
trở lại bài toán : a2/b+c + b2/a+c + c2/a+b >= (a+b+c)/2
<=>(a2/b+c + a)+(b2/a+c + b)+(c2/a+b + c) >= 3/2(a+b+c)
<=>a(a+b+c)/b+c + b(a+b+c)/a+c + c(a+b+c)/a+b >= 3/2(a+b+c)
<=>a/b+c + b/a+c + c/a+b >= 3/2 (bđt (*))
Vậy có đpcm
4 tháng 5 2018
\(BDT\Leftrightarrow\left(\frac{a}{a+b}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{b}{b+c}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{c}{c+a}-\frac{1}{2}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a-b}{2\left(a+b\right)}+\frac{b-c}{2\left(b+c\right)}+\frac{c-a}{2\left(c+a\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a-b}{2\left(a+b\right)}+\frac{\left(b-a\right)+\left(a-c\right)}{2\left(b+c\right)}+\frac{c-a}{2\left(c+a\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left(a-b\right)\left(\frac{1}{a+b}-\frac{1}{b+c}\right)+\frac{1}{2}\left(a-c\right)\left(\frac{1}{b+c}-\frac{1}{c+a}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(c-a\right)\left(a-b\right)}{2\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\frac{\left(a-c\right)\left(a-b\right)}{2\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-c\right)\left(a-b\right)}{2\left(b+c\right)}\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{c+a}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-c\right)\left(a-b\right)\left(b-c\right)}{2\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\ge0\)(luôn đúng \(\forall a\ge b\ge c>0\))
Vậy BĐT đã được chứng minh
Áp dụng BĐT Cosi 3 số dương:
\(2\left(a+b+c\right)=\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\ge\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\ge\sqrt[3]{\frac{1}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}\)
Nhân theo vế của 2 BĐT \(2\left(a+b+c\left[\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right]\right)\ge9\)
\(\Rightarrow P+3\ge\frac{9}{2}\Rightarrow P\ge\frac{3}{2}\left(Dpcm\right)\)
Dấu "=" <=> a=b=c