Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
ap dung bat dang thuc amgm
\(\sqrt{b^3+1}\) \(=\sqrt{\left(b+1\right)\left(b^2-b+1\right)}\le\frac{b+1+b^2-b+1}{2}\) \(=\frac{b^2+2}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{\sqrt{b^3+1}}\ge2.\frac{a}{b^2+2}\)
P=\(\frac{a}{\sqrt{b^3+1}}+\frac{b}{\sqrt{c^3+1}}+\frac{c}{\sqrt{a^3+1}}\ge2\left(\frac{a}{b^2+2}+\frac{b}{c^2+2}+\frac{c}{a^2+2}\right)\) \(\)
=\(2\left(\frac{a^2}{a\left(b^2+2\right)}+\frac{b^2}{b\left(c^2+2\right)}+\frac{c^2}{c\left(a^2+2\right)}\right)\)
tiep tuc ap dung bdt cauchy-swart dang phan thuc
\(\ge2\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a\left(b^2+2\right)+b\left(c^2+2\right)+c\left(a^2+2\right)}\)=
Áp dụng BĐT Cauchy cho các cặp số dương, ta có: \(VT=\Sigma\frac{a}{\sqrt{b^3+1}}=\Sigma\frac{a}{\sqrt{\left(b+1\right)\left(b^2-b+1\right)}}\)
\(\ge\Sigma\frac{a}{\frac{\left(b+1\right)+\left(b^2-b+1\right)}{2}}=\Sigma\frac{2a}{b^2+2}=\Sigma\left(a-\frac{ab^2}{b^2+2}\right)\)
\(=\Sigma\left(a-\frac{2ab^2}{b^2+b^2+4}\right)\ge\Sigma\left(a-\frac{2ab^2}{3\sqrt[3]{4b^4}}\right)\)\(=\Sigma\left[a-\frac{a\sqrt[3]{2b^2}}{3}\right]=\Sigma\left[a-\frac{a\sqrt[3]{2.b.b}}{3}\right]\)
\(\ge\Sigma\left[a-\frac{a\left(2+b+b\right)}{9}\right]\)\(=\left(a+b+c\right)-\frac{2\left(a+b+c\right)}{9}-\frac{2\left(ab+bc+ca\right)}{9}\)
\(=\frac{7\left(a+b+c\right)}{9}-\frac{2\left(ab+bc+ca\right)}{9}\)\(\ge\frac{7\left(a+b+c\right)}{9}-\frac{2.\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{9}=2\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 2
Ta có:
\(\frac{2}{\sqrt{a}}+\frac{2}{\sqrt{b}}+\frac{2}{\sqrt{c}}=\left(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}\right)+\left(\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\right)+\left(\frac{1}{\sqrt{c}}+\frac{1}{\sqrt{a}}\right)\)
\(\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{\left(1+1\right)^2}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\frac{\left(1+1\right)^2}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}\)
\(=\frac{4}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{4}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\frac{4}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}\)
=> \(2\left(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\right)\)\(\ge4\left(\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\frac{1}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}\right)\)
=> \(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\)\(\ge2\left(\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\frac{1}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}\right)\)
"=" xảy ra <=> a =b =c.
mấy bài cơ bản nên cũng dễ, mk có thể giải hết cho bn vs 1 đk : bn đăng từng câu 1 thôi nhé !
bài 3 có thể lên gg tìm kỹ thuật AM-GM (cosi) ngược dấu
bài 8 c/m bđt phụ 5b3-a3/ab+3b2 </ 2b-a ( biến đổi tương đương)
những câu còn lại 1 nửa dùng bđt AM-GM , 1 nửa phân tích nhân tử ròi dựa vào điều kiện
Đặt \(\hept{\begin{cases}\sqrt{a^2+b^2}=z\\\sqrt{b^2+c^2}=x\\\sqrt{c^2+a^2}=y\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=\frac{y^2+z^2-x^2}{2}\\b=\frac{x^2+z^2-y^2}{2}\\c=\frac{x^2+y^2-z^2}{2}\end{cases}}\)\(\forall\hept{\begin{cases}x,y,z>0\\x+y+z=\sqrt{2017}\end{cases}}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(b+c\le\sqrt{2\left(b^2+c^2\right)}=2x\Rightarrow\frac{a^2}{b+c}\ge\frac{y^2+z^2-x^2}{2\sqrt{2}x}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế:
\(2\sqrt{2}\cdot VT\ge\frac{y^2+z^2-x^2}{x}+\frac{y^2+x^2-z^2}{z}+\frac{x^2+z^2-y^2}{y}\)
\(=\frac{y^2}{x}+\frac{z^2}{x}+\frac{y^2}{z}+\frac{x^2}{z}+\frac{x^2}{y}+\frac{z^2}{y}-\left(x+y+z\right)\)
\(\ge\frac{\left(2\left(x+y+z\right)\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}-\sqrt{2017}=\sqrt{2017}\)
\(\Rightarrow2\sqrt{2}\cdot VT\ge\sqrt{2017}\Rightarrow VT\ge\frac{\sqrt{2017}}{2\sqrt{2}}=VP\)
\(\frac{a}{\sqrt{b^3+1}}+\frac{b}{\sqrt{c^3+1}}+\frac{c}{\sqrt{a^3+1}}\) chứ không như đề bài trên nhé.
Ta có:
\(\sqrt{b^3+1}=\sqrt{\left(b+1\right)\left(b^2-b+1\right)}\)
Vì \(b>0\)nên \(b+1>0\)và \(b^2-b+1\ge\frac{3}{4}>0\)nên áp dụng bất dẳng thức Cô-si cho 2 số dương, ta được:
\(\left(b+1\right)+\left(b^2-b+1\right)\ge2\sqrt{\left(b+1\right)\left(b^2-b+1\right)}\)
\(\Leftrightarrow b^2+2\ge2\sqrt{b^3+1}\)
\(\Leftrightarrow\frac{b^2+2}{2}\ge\sqrt{b^3+1}\)
\(\Leftrightarrow\frac{2}{b^2+2}\le\frac{1}{\sqrt{b^3+1}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{2a}{b^2+2}\le\frac{a}{\sqrt{b^3+1}}\left(1\right)\)
Chứng minh tương tự, ta được:
\(\frac{2b}{c^2+2}\le\frac{b}{\sqrt{c^3+1}}\left(2\right)\);
\(\frac{2c}{a^2+2}\le\frac{c}{\sqrt{a^3+1}}\left(3\right)\)
Từ (1), (2), (3), ta được:
\(\frac{a}{\sqrt{b^3+1}}+\frac{b}{\sqrt{c^3+1}}+\frac{c}{\sqrt{a^3+1}}\ge\frac{2a}{b^2+2}+\frac{2b}{c^2+2}+\frac{2c}{a^2+2}\left(4\right)\)
Ta có:
\(\frac{2a}{b^2+2}=\frac{a\left(b^2+2-b^2\right)}{b^2+2}=\frac{a\left(b^2+2\right)}{b^2+2}-\frac{ab^2}{b^2+2}=a-\frac{ab^2}{b^2+2}\)
Vì b dương nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương, ta được:
\(b^2+2\ge2b\sqrt{2}\)\(\Leftrightarrow\frac{1}{b^2+2}\le\frac{1}{2b\sqrt{2}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{ab^2}{b^2+2}\le\frac{ab}{2\sqrt{2}}\)\(\Leftrightarrow-\frac{ab^2}{b^2+2}\ge\frac{-ab}{2\sqrt{2}}\)
\(\Leftrightarrow a-\frac{ab^2}{b^2+2}\ge a-\frac{ab}{2\sqrt{2}}\)\(\Leftrightarrow\frac{2a}{b^2+2}\ge a-\frac{ab}{2\sqrt{2}}\left(5\right)\)
Chứng minh tương tự, ta được:
\(\frac{2b}{c^2+2}\ge b-\frac{bc}{2\sqrt{2}}\left(6\right)\);
\(\frac{2c}{a^2+2}\ge c-\frac{ca}{2\sqrt{2}}\left(7\right)\)
Từ (5), (6), (7), ta được:
\(\frac{2a}{b^2+2}+\frac{2b}{c^2+2}+\frac{2c}{a^2+2}\ge a-\frac{ab}{2\sqrt{2}}+b-\frac{bc}{2\sqrt{2}}+c-\frac{ca}{2\sqrt{2}}\left(8\right)\)