HB
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
13 tháng 7 2017
2, a, \(a+\dfrac{1}{a}\ge2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2+1}{a}\ge2\)
\(\Rightarrow a^2-2a+1\ge0\left(a>0\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2\ge0\)( là đt đúng vs mọi a)
vậy...................
PA
13 tháng 7 2017
Câu 1:
\(M=\sqrt{4+\sqrt{5\sqrt{3}+5\sqrt{48-10\sqrt{7+4\sqrt{3}}}}}\)
\(=\sqrt{4+\sqrt{5\sqrt{3}+5\sqrt{48-10\sqrt{\left(2+\sqrt{3}\right)^2}}}}\)
\(=\sqrt{4+\sqrt{5\sqrt{3}+5\sqrt{48-20-10\sqrt{3}}}}\)
\(=\sqrt{4+\sqrt{5\sqrt{3}+5\sqrt{\left(5-\sqrt{3}\right)^2}}}\)
\(=\sqrt{4+\sqrt{5\sqrt{3}+25-5\sqrt{3}}}\)
\(=\sqrt{4+5}=3\)
\(M=\sqrt{5-\sqrt{3-\sqrt{29-12\sqrt{5}}}}\)
\(=\sqrt{5-\sqrt{3-\sqrt{\left(2\sqrt{5}-3\right)^2}}}\)
\(=\sqrt{5-\sqrt{3-2\sqrt{5}+3}}\)
\(=\sqrt{5-\sqrt{\left(\sqrt{5}-1\right)^2}}\)
\(=\sqrt{5-\sqrt{5}+1}=\sqrt{6-\sqrt{5}}\)
VA
0
SJ
6
30 tháng 7 2017
Có :
\(\frac{a^2+5}{\sqrt{a^2+4}}\ge2\) (sửa lại đề)
\(\Rightarrow a^2+5\ge2.\sqrt{a^2+4}\)
\(\Rightarrow\left(a^2+5\right)^2\ge4.\left(a^2+4\right)\)
\(\Rightarrow a^4+10a^2+25\ge4.a^2+16\)
\(\Rightarrow a^4+6a^2+9\ge0\)
\(\Rightarrow\left(a^2+3\right)^2\ge0\) (Cái này đúng)
=> BĐT cần chứng minh là đúng .
TN
9 tháng 7 2017
Lần sau đăng ít 1 thôi đăng nhiều ngại làm, bn đăng nhiều nên tui hướng dẫn sơ qua thôi tự làm đầy đủ vào vở
Bài 1:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(a^4+b^4\ge2a^2b^2;b^4+c^4\ge2b^2c^2;c^4+a^4\ge2c^2a^2\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên rồi thu gọn
\(a^4+b^4+c^4\ge a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)
Áp dụng tiếp BĐT AM-GM
\(a^2b^2+b^2c^2=b^2\left(a^2+c^2\right)\ge2b^2ac\)
Tương tự rồi cộng theo vế có ĐPCM
Bài 2:
Quy đồng BĐT trên ta có:
\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}-\frac{a}{b}-\frac{b}{a}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2b^2}\ge0\) (luôn đúng)
Bài 4: Áp dụng BĐT AM-GM
\(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\)
\(\ge\left(a+b\right)\left(2ab-ab\right)=ab\left(a+b\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a^3+b^3}{ab}\ge\frac{ab\left(a+b\right)}{ab}=a+b\)
Tương tự rồi cộng theo vế
Bài 5: sai đề tự nhien có dấu - :v nghĩ là +
9 tháng 7 2017
ai k mình k lại [ chỉ 3 người đầu tiên mà trên 10 điểm hỏi đáp ]
NT
2
26 tháng 8 2017
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có :
\(\left(1^2+1^2\right)\left[\left(a^2\right)^2+\left(b^2\right)^2\right]\ge\left(a^2.1+b^2.1\right)\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a^2+b^2\right)^2\Rightarrow a^4+b^4\ge\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\)(1)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki lần nữa ta có :
\(\left(1^2+1^2\right)\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a.1+b.1\right)^2\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)
\(\Rightarrow a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}=\frac{2^2}{2}=2\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow a^4+b^4\ge\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\ge\frac{2^2}{2}=2\)(đpcm)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=1\)
26 tháng 8 2017
Có : \(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\)
<=> \(2x^2+2y^2\ge\left(x+y\right)^2=x^2+2xy+y^2\)
<=> \(x^2-2xy+y^2\ge0\) (đúng)
Vậy \(a^4+b^4\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}=\frac{2^2}{2}=2\)
dấu "=" xảy ra <=> a = b = 1
TT
1
8 tháng 10 2016
\(a+b\ge2\Rightarrow a+b-2\ge0\)
Ta có \(a^2\left(a-1\right)+b^2\left(b-1\right)\ge0\Leftrightarrow a^2\left(a-1\right)+b^2\left(b-1\right)-\left(a-1\right)-\left(b-1\right)+a+b-2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(a^2-1\right)+\left(b-1\right)\left(b^2-1\right)+a+b-2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2\left(a+1\right)+\left(b-1\right)^2\left(b+1\right)+a+b-2\ge0\) luôn đúng với a,b không âm và \(a+b\ge2\)
Từ đó có điều phải chứng minh.
3 tháng 7 2018
a) \(a+b-2\sqrt{ab}\ge0\)
<=> \(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\ge0\) (luôn đúng )
=> đpcm
b) \(\sqrt{\dfrac{a+b}{2}}\ge\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\Leftrightarrow\sqrt{\dfrac{a+b}{2}^2}\ge\left(\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\right)^2\)
<=> \(\dfrac{a+b}{2}\ge\dfrac{a+b+2\sqrt{ab}}{4}\)
<=> \(\dfrac{2a+2b}{4}\ge\dfrac{a+b+2\sqrt{ab}}{4}\Leftrightarrow2a+2b\ge a+b+2\sqrt{ab}\)
<=> \(2a+2b-a-b-2\sqrt{ab}\ge0\)
<=> \(a-2\sqrt{ab}+b\ge0\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
=> đpcm
23 tháng 2 2018
Áp dụng bđt cosi ta có :
2 = 1/a^2 + 1/b^2 >= 2\(\sqrt{\frac{1}{a^2.b^2}}\) = 2/ab
=> ab >= 1
Có : a+b >= \(2\sqrt{ab}\) = 2.1 = 2
=> đpcm
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=1
Tk mk nha
Bất đẳng thức cần chứng minh có thể được viết lại thành: \(32\left(a^5+b^5\right)\ge2\left(a+b\right)^5\)
* Xét biểu thức: \(32\left(a^5+b^5\right)-2\left(a+b\right)^5=10\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\left(3a^2+3b^2+2ab\right)\ge0\forall a,b\inℝ\)do \(3a^2+3b^2+2ab=2a^2+2b^2+\left(a+b\right)^2\ge0\forall a,b\inℝ\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = 1