BH
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
3 tháng 6 2020
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}+\frac{1}{c}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge4\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)\ge2\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge1\)
Đặt \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow x+y+z\ge1\)
\(P=\sqrt{x^2+2y^2}+\sqrt{y^2+2z^2}+\sqrt{z^2+2x^2}\)
\(\Rightarrow P\ge\sqrt{\frac{\left(x+2y\right)^2}{3}}+\sqrt{\frac{\left(y+2z\right)^2}{3}}+\sqrt{\frac{\left(z+2x\right)^2}{3}}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{1}{\sqrt{3}}\left(3x+3y+3z\right)\ge\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\) hay \(a=b=c=3\)
26 tháng 11 2020
Tự nhiên lục được cái này :'(
3. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b-c+b+c-a}=\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}\)
\(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{b+c-a+c+a-b}=\frac{4}{2c}=\frac{2}{c}\)
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b-c+c+a-b}=\frac{4}{2a}=\frac{2}{a}\)
Cộng theo vế ta có điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
5 tháng 6 2020
Bạn tham khảo:
Câu hỏi của Phạm Vũ Trí Dũng - Toán lớp 8 | Học trực tuyến
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
19 tháng 6 2019
Thực hiện phép biến đổi tương đương:
\(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2+2}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}\ge\frac{2}{1+ab}\)
\(\Leftrightarrow\left(1+ab\right)\left(a^2+b^2+2\right)\ge2\left(1+a^2+b^2+a^2b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+2+a^3b+ab^3+2ab\ge2+2a^2+2b^2+2a^2b^2\)
\(\Leftrightarrow a^3b-2a^2b^2+ab^3-a^2+2ab-b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow ab\left(a-b\right)^2-\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(ab-1\right)\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng do \(ab>1\))
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b\)
TM
27 tháng 5 2017
Nhân cả 2 vế với a+b+c
Chứng minh \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\) tương tự với \(\frac{b}{c}+\frac{c}{b};\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2\ge0\Leftrightarrow\frac{a^2-2ab+b^2}{ab}\ge0\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}\ge0\)luôn đúng do a;b>0
dễ rồi nhé
TM
27 tháng 5 2017
b) \(P=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\)
\(P=\left(\frac{x+1}{x+1}+\frac{y+1}{y+1}+\frac{z+1}{z+1}\right)-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)
\(P=\left(1+1+1\right)-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)
\(P=3-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)
Áp dụng bđt Cauchy Schwarz dạng Engel (mình nói bđt như vậy,chỗ này bạn cứ nói theo cái bđt đề bài cho đi) ta được:
\(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x+1+y+1+z+1}=\frac{9}{4}\)
=>\(P=3-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\le3-\frac{9}{4}=\frac{3}{4}\)
=>Pmax=3/4 <=> x=y=z=1/3
13 tháng 12 2017
Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-ski, ta có:
\(\left(a+b+c\right)\left[\frac{a}{\left(ac+a+1\right)^2}+\frac{b}{\left(bc+b+1\right)^2}+\frac{c}{\left(ca+c+1\right)^2}\right]\)
\(\ge\left(\frac{a}{ac+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ca+c+1}\right)^2\) \(\left(1\right)\)
Lại có: \(\frac{a}{ac+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ca+c+1}\)
\(=\frac{a}{ac+a+abc}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{bc}{abc+bc+b}\) ( Do abc=1 )
\(=\frac{1}{bc+b+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{bc}{bc+b+1}\)
\(=1\) \(\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(\left(a+b+c\right)\left[\frac{a}{\left(ac+a+1\right)^2}+\frac{b}{\left(bc+b+1\right)^2}+\frac{c}{\left(ca+c+1\right)^2}\right]\ge1\)
Mà \(a;b;c>0\Rightarrow a+b+c>0\)
\(\Rightarrow\frac{a}{\left(ac+a+1\right)^2}+\frac{b}{\left(bc+b+1\right)^2}+\frac{c}{\left(ca+c+1\right)^2}\ge\frac{1}{a+b+c}\) (đpcm)
cái này phải dùng định nghĩa
Ta có: a , b > 1
=> a + b > 2 => a + b - 2 > 0
và ( a - 1) ( b - 1) > 0 => ab - 1 > a + b - 2 > 0
Xét hiệu: \(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}-\frac{2}{ab+1}\)
\(=\left(\frac{1}{a^2+1}-\frac{1}{ab+1}\right)+\left(\frac{1}{b^2+1}-\frac{1}{ab+1}\right)\)
\(=\frac{ab-a^2}{\left(a^2+1\right)\left(ab+1\right)}+\frac{ab-b^2}{\left(b^2+1\right)\left(ab+1\right)}\)
\(=\frac{a-b}{\left(ab+1\right)}\left(\frac{b}{b^2+1}-\frac{a}{a^2+1}\right)\)
\(=\frac{\left(a-b\right)^2.\left(ab-1\right)}{\left(ab+1\right)\left(b^2+1\right)\left(a^2+1\right)}\ge0\)
=> \(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}\ge\frac{2}{ab+1}\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b.