Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 1:
a: ĐKXĐ: 2x+3>=0 và x-3>0
=>x>3
b: ĐKXĐ:(2x+3)/(x-3)>=0
=>x>3 hoặc x<-3/2
c: ĐKXĐ: x+2<0
hay x<-2
d: ĐKXĐ: -x>=0 và x+3<>0
=>x<=0 và x<>-3
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương ta có:
\((a+b)+(b+c)+(c+a)\geq 3\sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)}\)
\(\Leftrightarrow 2(a+b+c)\geq 3\sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)}\)
\(\Rightarrow a+b+c\ge \frac{3}{2}\sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)}\)
Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $a+b=b+c=c+a$ hay $a=b=c$
a, \(\dfrac{b}{\left(a-4\right)^2}.\sqrt{\dfrac{\left(a-4\right)^4}{b^2}}=\dfrac{b}{\left(a-4\right)^2}.\dfrac{\left(a-4\right)^2}{b}=1\)
b, Đặt \(B=\dfrac{x\sqrt{x}-y\sqrt{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}\)
\(\sqrt{x}=a,\sqrt{y}=b\)
Ta có: \(B=\dfrac{a^3-b^3}{a-b}=\dfrac{\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)}{a-b}=a^2+ab+b^2\)
\(\Rightarrow B=x+\sqrt{xy}+y\)
Vậy...
c, \(\dfrac{a}{\left(b-2\right)^2}.\sqrt{\dfrac{\left(b-2\right)^4}{a^2}}=\dfrac{a}{\left(b-2\right)^2}.\dfrac{\left(b-2\right)^2}{a}=1\)
d, \(2x+\dfrac{\sqrt{1-6x+9x^2}}{3x-1}=2x+\dfrac{\sqrt{\left(3x-1\right)^2}}{3x-1}=2x+1\)
a:b(a−4)2.√(a−4)4b2(b>0;a≠4)b(a−4)2.(a−4)4b2(b>0;a≠4)
= \(\dfrac{b}{\left(a-4\right)}.\dfrac{\sqrt{\left[\left(a-4\right)^2\right]^2}}{\sqrt{b^2}}\)
=\(\dfrac{b}{\left(a-4\right)^2}.\dfrac{\left(a-4\right)^2}{b}\)
= 1 ( nhân tử với tử mẫu với mẫu rồi rút gọn)
b:x√x−y√y√x−√y(x≥0;y≥0;x≠0)xx−yyx−y(x≥0;y≥0;x≠0)
=\(\dfrac{\sqrt{x^3}-\sqrt{y^3}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}\)
=\(\dfrac{\left(\sqrt{x}\right)^3-\left(\sqrt{y}\right)^3}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}\)
=\(\dfrac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right).\left(x+\sqrt{xy}+y\right)}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}\)(áp dụng hằng đẳng thức )
= (x+\(\sqrt{xy}\)+y)
c:a(b−2)2.√(b−2)4a2(a>0;b≠2)a(b−2)2.(b−2)4a2(a>0;b≠2)
Tương tự câu a
d:x(y−3)2.√(y−3)2x2(x>0;y≠3)x(y−3)2.(y−3)2x2(x>0;y≠3)
tương tự câu a
e:2x +√1−6x+9x23x−1
= \(2x+\dfrac{\sqrt{\left(3x\right)^2-6x+1}}{3x-1}\)
= 2x+\(\dfrac{\sqrt{\left(3x-1\right)^2}}{3x-1}\)(hằng đẳng thức)
=2x+\(\dfrac{3x-1}{3x-1}\)
=2x+1
Sửa: \(a;b>0\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(A=\left(a+1\right)\left(1+\dfrac{1}{b}\right)+\left(b+1\right)\left(1+\dfrac{1}{a}\right)\)
\(=\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+a+\dfrac{1}{a}+b+\dfrac{1}{b}+2\)
\(=\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+\left(a+\dfrac{1}{2a}\right)+\left(b+\dfrac{1}{2b}\right)+\dfrac{1}{2a}+\dfrac{1}{2b}+2\)
\(\ge2\sqrt{\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{b}{a}}+2\sqrt{a\cdot\dfrac{1}{2a}}+2\sqrt{b\cdot\dfrac{1}{2b}}+2\sqrt{\dfrac{1}{2a}\cdot\dfrac{1}{2b}}+2\)
\(=4+2\sqrt{2}+\dfrac{1}{\sqrt{ab}}\)\(\ge4+2\sqrt{2}+\dfrac{1}{\dfrac{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}}{2}}\)
\(=4+3\sqrt{2}\)
Dấu \("="\) xảy ra khi \(a=b=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)
Ta có : \(\left(\dfrac{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\sqrt{ab}\right)\)\(\left(\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a-b}\right)^2\)=1
⇌ \(\left(\dfrac{\sqrt{a}^3+\sqrt{b}^3}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\sqrt{ab}\right)\)\(\left(\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}\right)^2\)=1
⇌ \(\left(\dfrac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(a-\sqrt{ab}+b\right)}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\sqrt{ab}\right)\)\(\dfrac{1}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}\)=1
⇌ \(\left(a+b\right)\)\(\dfrac{1}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}\)=1
⇌ \(\dfrac{a+b}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}-1=0\)
⇌ \(\dfrac{a+b-a+\sqrt{ab}-b}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}=0\)
⇌ \(\sqrt{ab}=0\)
⇌\(\left[{}\begin{matrix}a=0\\b=0\end{matrix}\right.\)(thỏa mãn điều kiện)
Vậy a=0;b=0
Ta có BĐT : \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}=4\)
Sử dụng BĐT Cauchy schwarz dưới dạng engel ta có :
\(\dfrac{\left(a+\dfrac{1}{b}\right)^2}{1}+\dfrac{\left(b+\dfrac{1}{a}\right)^2}{1}\ge\dfrac{\left(a+b+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)^2}{2}=\dfrac{\left(1+4\right)^2}{2}=\dfrac{25}{2}\)
Vậy BĐT đã được chứng minh . Dấu \("="\) xảy ra khi \(a=b=\dfrac{1}{2}\)