HP
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
Y
14 tháng 4 2019
a) \(a\le b\) \(\Rightarrow-a\ge-b\)
\(\Rightarrow-\frac{2}{3}a\ge-\frac{2}{3}b\) ( theo liên hệ giữa thứ tự và phép nhân )
\(\Rightarrow-\frac{2}{3}a+4\ge-\frac{2}{3}b+4\)
b) \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2-4ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)
Vì bđt cuối luôn đúng mà các biến đổi trên là tương đương nên bđt ban đầu luôn đúng
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)
LD
13 tháng 5 2019
1.
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si thôi:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}\ge\frac{2\sqrt{ab}}{ab}=\frac{2}{\sqrt{ab}}\ge\frac{2}{\frac{a+b}{2}}=\frac{4}{a+b}\)
Dấu "=" khi a = b
2.
Vì a,b,c là ba cạnh tam giác nên dễ thấy các mẫu số dương.
Áp dụng câu 1 ta có:
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{4}{a+b-c+c+a-b}=\frac{4}{2a}=\frac{2}{a}\)
Tương tự:
\(\frac{1}{c+a-b}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{4}{2c}=\frac{2}{c}\)
\(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{a+b-c}\ge\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}\)
Cộng theo vế ta được:
\(2\left(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\right)\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c hay tam giác đó đều.
22 tháng 3 2018
1a)\(\dfrac{a^2+b^2}{2}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
b)\(\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{9}\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
22 tháng 3 2018
2a)\(a^2+\dfrac{b^2}{4}\ge ab\)
\(\Leftrightarrow a^2-ab+\dfrac{b^2}{4}\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-2\cdot\dfrac{1}{2}b\cdot a+\left(\dfrac{1}{2}b\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-\dfrac{1}{2}b\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
b)Đã cm
c)\(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2\ge2ab+2a+2b\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
Dấu bằng xảy ra khi a=b=1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
11 tháng 6 2019
\(C=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}+ab+\frac{16}{ab}+\frac{17}{2ab}\)
\(C\ge\frac{4}{a^2+b^2+2ab}+2\sqrt{ab.\frac{16}{ab}}+\frac{17}{\frac{2\left(a+b\right)^2}{4}}\)
\(C\ge\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+8+\frac{34}{\left(a+b\right)^2}\ge\frac{4}{4^2}+8+\frac{34}{4^2}=\frac{83}{8}\)
Dấu "=" khi \(a=b=2\)
DL
14 tháng 8 2017
Bạn thử chứng minh kiểu này đi :
\(\frac{a^2+b^2+c^2}{3}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)
DL
14 tháng 8 2017
Mình chứng minh theo cách trên :3
\(\frac{a^2+b^2+c^2}{3}-\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^2=\frac{a^2+b^2+c^2}{3}-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{9}\)
\(=\frac{1}{9}\left[3\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(a+b+c\right)^2\right]\)
\(=\frac{1}{9}\left[2\left(a^2+b^2+c^2\right)-2\left(ab+bc+ca\right)\right]\)
\(=\frac{1}{9}\left[\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+c^2\right)\right]\)
\(=\frac{1}{9}\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]\ge0\)
29 tháng 4 2019
Ta có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}\ge\frac{4ab}{ab\left(a+b\right)}\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\) (vì xy(x+y) >0 với x,y > 0)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)( Đúng)
Vậy \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
29 tháng 4 2019
Lời giải:
Xét hiệu:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{4}{a+b}=\frac{a+b}{ab}-\frac{4}{a+b}\)
\(=\frac{(a+b)^2-4ab}{ab(a+b)}=\frac{a^2+2ab+b^2-4ab}{ab(a+b)}=\frac{a^2-2ab+b^2}{ab(a+b)}=\frac{(a-b)^2}{ab(a+b)}\geq 0, \forall a,b>0\)
\(\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b$
9 tháng 3 2018
1a)\(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+1\right)\ge2\left(ab+b+a\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=1
9 tháng 3 2018
b)\(a^2+b^2+c^2\ge a\left(b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2ac\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)+b^2+c^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+b^2+c^2\ge0\)(luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=0
\(a+b=1\Rightarrow a=1-b\)
Ta có : \(3a^2+b^2=3\left(1-b\right)^2+b^2=3\left(1-2b+b^2\right)+b^2=4b^2-6b+3\)
\(=\left(4b^2-2.2b.\frac{3}{2}+\frac{9}{4}\right)+\frac{3}{4}=\left(2b-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}\)
Vậy \(a+b\ge\frac{3}{4}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=\frac{1}{4}\\b=\frac{3}{4}\end{cases}}\)