NB
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
PN
26 tháng 12 2015
Từ \(a=b+c\) \(\Rightarrow\) \(a-b-c=0\)
Ta có:
\(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}=1\)
\(\Rightarrow\) \(\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\right)^2=1\)
\(\Leftrightarrow\) \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\left(\frac{1}{bc}-\frac{1}{ac}-\frac{1}{ab}\right)=1\)
\(\Leftrightarrow\) \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\left(\frac{a}{abc}-\frac{b}{abc}-\frac{c}{abc}\right)=1\)
\(\Leftrightarrow\) \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\left(\frac{a-b-c}{abc}\right)=1\)
\(\Leftrightarrow\) \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=1\)
\(\Leftrightarrow\) \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\left(\frac{c-c}{abc}\right)=1\)
T
31 tháng 1 2019
Bài này chắc dùng phương pháp hạ bậc + chọn điểm rơi. :v
Lời giải:
Dự đoán dấu "=" xảy ra tại a = b = 1
Ta có: \(1+a^2\ge2a;1+b^2\ge2b\) (cô si)
Suy ra \(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\le\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}\) (1)
Áp dụng BĐT Am-Gm (Cô si),ta có: \(ab\le\frac{a^2+b^2}{2}\)
Lại có: \(\frac{2}{1+ab}\ge\frac{2}{1+\frac{a^2+b^2}{2}}\ge\frac{2}{1+\frac{2}{2}}=1\) (2)
Ta sẽ c/m: \(\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}\le1\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\le2\)
Chứng minh tiếp đi:v,bí r:v
: ở đâu có nhãn xanh thế tth?
T
2 tháng 2 2019
Dự đoán đẳng thức xảy ra tại \(a=b=c=\sqrt{3}\)
Ta có: \(\sqrt{a^2+1}=\sqrt{\frac{1}{4}}.\sqrt{4\left(a^2+1\right)}\le\sqrt{\frac{1}{4}}\left(\frac{4+a^2+1}{2}\right)=\frac{5+a^2}{4}\)
Thiết lập hai bđt còn lại tương tự và cộng theo vế:
\(VP\le3+\frac{1}{2}\left(\frac{15+a^2+b^2+c^2}{2}\right)\)\(=\frac{27+a^2+b^2+c^2}{4}\)
Ta chỉ cần chứng minh: \(ab+bc+ca\ge\frac{27}{4}+\frac{a^2+b^2+c^2}{4}\)
Đến đây chưa nghĩ ra =((
T
2 tháng 2 2019
Lạy trời cho con đừng gặp ngõ cụt như nãy nx,làm mà cứ ngõ cụt chán ~v
Lời giải:
\(a+b+c=abc\Rightarrow\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1\) (do a,b,c dương nên a + b + c > 0 tức là abc > 0)
Lại có: \(1=\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\ge\frac{9}{ab+bc+ca}\Rightarrow VT=ab+bc+ca\ge9\) (1)
Ta sẽ c/m \(VP=3+\sqrt{a^2+1}+\sqrt{b^2+1}+\sqrt{c^2+1}\le9\)
\(\Leftrightarrow A=\sqrt{a^2+1}+\sqrt{b^2+1}+\sqrt{c^2+1}\le6\)
Thật vậy: \(A=\frac{1}{2}\left[\sqrt{4\left(a^2+1\right)}+\sqrt{4\left(b^2+1\right)}+\sqrt{4\left(c^2+1\right)}\right]\)
\(\le\frac{1}{2}\left(\frac{15+a^2+b^2+c^2}{2}\right)=\frac{15+a^2+b^2+c^2}{4}\)
Lại gặp ngõ cụt nữa r,=((Ai đó giúp em vs!!!
17 tháng 8 2019
Ta có \(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\)
\(a^2+b^2\le\frac{\left(a+b\right)^2}{2}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{3}{ab}+\frac{1}{a^2+b^2}\ge\frac{3}{\frac{1}{4}}+\frac{1}{\frac{1}{2}}=12+2=14\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
23 tháng 5 2018
Hình bạn tự vẽ nhá !!
Xét \(\Delta BEC\) và \(\Delta CDB\) có :
\(\widehat{EBC}=\widehat{DCB}\left(gt\right)\); \(BC\)chung; \(\widehat{DBC}=\widehat{ECB}\left(=\frac{1}{2}\widehat{ABC}=\frac{1}{2}\widehat{ACB}\right)\)
\(\Rightarrow\Delta BEC=\Delta CDB\) \(\left(g-c-g\right)\)\(\Rightarrow BE=CD\)
Do đó \(\frac{BE}{AB}=\frac{CD}{AC}\) theo định lý Ta lét đảo \(\Rightarrow DE//BC\)
\(\Rightarrow\widehat{DBC}=\widehat{EDB}=\widehat{EBD}\) (SLT)
\(\Rightarrow\Delta BED\) cân tại \(E\) \(\Rightarrow DE=BE=c\)
Do DE//BC ta có : \(\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AB}\) (ĐL Talét) (1) Và \(\frac{DE}{AB}=\frac{BE}{AB}\) (2)
Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được : \(\frac{DE}{BC}+\frac{DE}{AB}=\frac{AE}{AB}+\frac{BE}{AB}=\frac{AE+BE}{AB}=\frac{AB}{AB}=1\)
\(\Leftrightarrow DE\left(\frac{1}{AB}+\frac{1}{BC}\right)=1\Rightarrow\frac{1}{AB}+\frac{1}{BC}=\frac{1}{DE}\)
Hay \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\) (ĐPCM)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
6 tháng 8 2021
\(a=\dfrac{1}{9}.\left(999...9\right)=\dfrac{1}{9}.\left(100...0-1\right)=\dfrac{1}{9}\left(10^n-1\right)\)
\(b=100...0+5=10^n+5\)
\(\Rightarrow ab+1=\dfrac{1}{9}\left(10^n-1\right)\left(10^n+5\right)+1=\dfrac{1}{9}\left(10^{2n}+4.10^n+4\right)=\dfrac{1}{9}\left(10^n+2\right)^2\)
\(=\left(\dfrac{10^n+2}{3}\right)^2\)
Ta có: \(10\equiv1\left(mod3\right)\Rightarrow10^n\equiv1\left(mod3\right)\)
\(\Rightarrow10^n+2⋮3\)
\(\Rightarrow\dfrac{10^n+2}{3}\in Z\)
\(\Rightarrow\left(\dfrac{10^n+2}{3}\right)^2\) là SCP hay \(ab+1\) là SCP
Ta có :
\(a\left(b+1\right)+b\left(a+1\right)\)
\(=ab+a+ba+b\)
\(=2ab+a+b\)
\(=2.1+a+b\)
\(=2+a+b\left(1\right)\)
Lại có :
\(\left(a+1\right)\left(b+1\right)\)
\(=ab+b+a+1\)
\(=1+b+a+1\)
\(=2+a+b\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right);\left(2\right)\)
\(\Rightarrow a\left(b+1\right)+b\left(a+1\right)=\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(đpcm\right)\)
a(b+1) + b(a+1)
= ab+a+b+ab
= ab+a+b+1
=(a+1)(b+1)