Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\sqrt{a+b}=\sqrt{a+c}+\sqrt{b+c}\)
\(\Leftrightarrow a+b=a+c+b+c+2\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\)
\(\Leftrightarrow2c+2\sqrt{ab+bc+ca+c^2}=0\)
Theo giả thiết \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\Leftrightarrow ab+bc+ca=0\)
Khi đó \(c=0?\)
Nhầm chỗ nào nhắc mình với nha mình cảm ơn nhiều
Lời giải:
Ta có:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ac=0(*)\).
Từ $(*)$ ta thấy: \(c=\frac{-ab}{a+b}< 0\) do $a,b>0$
\(c+a=\frac{-ac}{b}>0\) do $c< 0; a,b>0$
\(c+b=\frac{-bc}{a}>0\) do $c< 0; a,b>0$
Do đó:
\((*)\Leftrightarrow c^2+ab+bc+ac=c^2\)
\(\Leftrightarrow (c+a)(c+b)=c^2\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{(c+a)(c+b)}=|c|=-c\)
\(\Leftrightarrow 2\sqrt{(c+a)(c+b)}+2c=0\)
\(\Leftrightarrow (c+a)+(c+b)+2\sqrt{(c+a)(c+b)}=a+b\)
\(\Leftrightarrow (\sqrt{c+a}+\sqrt{c+b})^2=a+b\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{c+a}+\sqrt{c+b}=\sqrt{a+b}\) (đpcm)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{2}{\sqrt{ab}}\)
Tượng tự tao có \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{2}{\sqrt{bc}}\\\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\ge\frac{2}{\sqrt{ca}}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge2\left(\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ca}}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ca}}\) ( đpcm )
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c\)
Bài 1: \(a+\frac{1}{b\left(a-b\right)}=\left(a-b\right)+b+\frac{1}{b\left(a-b\right)}\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta thu được đpcm (mình làm ở đâu đó rồi mà:)
Dấu "=" xảy ra khi a =2; b =1 (tự giải ra)
Bài 2: Thêm đk a,b,c >0.
Theo BĐT Cauchy \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{c^2}}=\frac{2a}{c}\). Tương tự với hai cặp còn lại và cộng theo vế ròi 6chia cho 2 hai có đpcm.
Bài 3: Nó sao sao ấy ta?