Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\frac{a^2}{a+b^2}=a-\frac{ab^2}{a+b^2}\ge a-\frac{\sqrt{ab^2}}{2}=a-\frac{\sqrt{ab.b}}{2}\ge a-\frac{ab+b}{4}\)
CMTT: \(VT\ge2.\left(a+b+c-\frac{a+b+c+ab+cb+ca}{4}\right)\)
Ta lại có \(3\left(ab+bc+ca\right)\le\left(a+b+c\right)^2\le\left(a+b+c\right)\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}=3\left(a+b+c\right)\)
=> \(ab+bc+ca\le a+b+c\)
=> \(VT\ge2\left(a+b+c-\frac{a+b+c}{2}\right)=a+b+c\left(dpcm\right)\)
Dấu bằng khi a=b=c=1
Mình có một cách khác. Các bạn xem nhé!
Đặt a = b = c . Ta có:
\(\frac{2a^2}{a+b^2}+\frac{2b^2}{b+c^2}+\frac{2c^2}{c+a^2}=\frac{2a^2}{a+a^2}+\frac{2a^2}{a+a^2}+\frac{2a^2}{a+a^2}=3\left(\frac{2a^2}{a^3}\right)\ge a^3\)(Do a = b = c nên ta thế a,b,c = a)
\(\Leftrightarrow\frac{2a^2}{a^3}+\frac{2b^2}{b^3}+\frac{2c^2}{c^3}=\frac{2a^2+2b^2+2c^2}{a^3+b^3+c^3}=\frac{6\left(a^2+b^2+c^2\right)}{\left(a^2.b^2.c^2\right):\left(a+b+c\right)}=\frac{6}{2}=3\)
\(\Rightarrow\frac{2a^2}{a+b^2}+\frac{2b^2}{b+c^2}+\frac{2c^2}{c+a^2}>a+b+c^{\left(đpcm\right)}\)
Dấu = xảy ra khi a =b = c = 1
Áp dụng bunhiacopsky ta có
(a3 + b3 + c3)(\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\))\(\ge\)(\(\frac{\sqrt{a^3}}{\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{b^3}}{\sqrt{b}}+\frac{\sqrt{c^3}}{\sqrt{c}}\))2 = (a + b + c)2
\(x,y,z\ge1\)nên ta có bổ đề: \(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}\ge\frac{2}{ab+1}\)
ÁP dụng: \(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}+\frac{1}{1+\sqrt[3]{xyz}}\ge\frac{2}{1+\sqrt{xy}}+\frac{2}{1+\sqrt{\sqrt[3]{xyz^4}}}\)
\(\ge\frac{4}{1+\sqrt[4]{\sqrt[3]{x^4y^4z^4}}}=\frac{4}{1+\sqrt[3]{xyz}}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\ge\frac{3}{1+\sqrt[3]{xyz}}\)
Dấu = xảy ra \(x=y=z\)hoặc x=y,xz=1 và các hoán vị
trc giờ mấy bài này tui toàn quy đồng thôi, may có cách này =))
\(\frac{a^3}{b+2c}+\frac{b^3}{c+2a}+\frac{c^3}{a+2b}\)
\(=\frac{a^4}{ab+2ca}+\frac{b^4}{bc+2ab}+\frac{c^4}{ca+2bc}\)
\(\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{3\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(ab+bc+ca\right)}{3\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{1}{3}\)
ta có:\(\left(a+2b\right)^2=\left(1.a+\sqrt{2}.\sqrt{2}b\right)^2\le\left(1+2\right)\left(a^2+2b^2\right)\)( bđt bunhiacopxki)
\(\left(a+2b\right)^2\le3.3c^2=9c^2\)→\(a+2b\le3c\)
lại có:\(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\ge\frac{9}{a+2b}\ge\frac{9}{3c}=\frac{3}{c}\)
dấu = xảyra khi.... a+2b2=3c2(:v)
Câu 1: a)
b) Áp dụng Bđt Holder ta có:
\(\Rightarrow9\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\left(a+b+c\right)^3\)
\(\Rightarrow\frac{a^3+b^3+c^3}{3}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^3}{27}=\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3\)(đpcm)
Dấu = khi a=b=c
Câu 2:
Áp dụng Bđt \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)ta có:
\(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\ge\frac{4}{a+b+1+1}=\frac{4}{3}\)(Đpcm)
Dấu = khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
Câu 3:
Áp dụng Bđt \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\)ta có:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=9\left(a+b+c=1\right)\)(Đpcm)
Dấu = khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Câu 4: nghĩ sau