Question

[Giang Thia]

Cho a,b>0 và a+b=4 

Tìm GTNN của \(\frac{1}{a^2+b^2}\)+\(\frac{5}{ab}\)+ab

Answer 1

[Nobi Nobita]

Chứng minh bđt phụ: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)   (1)

Ta có:\(\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)( luôn đúng với mọi \(a,b>0\))

Đặt \(A=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{5}{ab}+ab\)

\(\Rightarrow A=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}+\frac{9}{2ab}+ab\)

Áp dụng bđt (1) ta được: \(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\ge\frac{4}{a^2+b^2+2ab}=\frac{4}{\left(a+b\right)^2}=\frac{4}{4^2}=\frac{1}{4}\)

Áp dụng bđt Cô-si với \(\frac{9}{2ab}+ab\)ta được: \(\frac{9}{2ab}+ab\ge2\sqrt{\frac{9}{2ab}.ab}=2.\sqrt{\frac{9}{2}}=\sqrt{4.\frac{9}{2}}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow A\ge\frac{1}{4}+3\sqrt{2}\)

Vậy \(minA=3\sqrt{2}+\frac{1}{4}\)