Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 2:
\(a^4+b^4\ge a^3b+b^3a\)
\(\Leftrightarrow a^4-a^3b+b^4-b^3a\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)
ta thấy : \(\orbr{\orbr{\begin{cases}\left(a-b\right)^2\ge0\\\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\end{cases}}}\Leftrightarrow dpcm\)
Dấu " = " xảy ra khi a = b
tk nka !!!! mk cố giải mấy bài nữa !11
Theo BĐT AM-GM :
\(\sqrt{b}=\sqrt{b\cdot1}\le\frac{b+1}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{\sqrt{b}}\ge\frac{a}{\frac{b+1}{2}}=\frac{2a}{b+1}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow b=1\)
+ Tương tự ta cm đc :
\(\frac{b}{\sqrt{c}}\ge\frac{2b}{c+1}\). Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow c=1\)
\(\frac{c}{\sqrt{a}}\ge\frac{2c}{a+1}\). Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=1\)
Do đó : \(\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{c}}+\frac{c}{\sqrt{a}}\ge2\left(\frac{a}{b+1}+\frac{b}{c+}+\frac{c}{a+1}\right)\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Áp dụng bđt Cauchy cho 2 số không âm :
\(x^2+\frac{1}{x}\ge2\sqrt[2]{\frac{x^2}{x}}=2.\sqrt{x}\)
\(y^2+\frac{1}{y}\ge2\sqrt[2]{\frac{y^2}{y}}=2.\sqrt{y}\)
Cộng vế với vế ta được :
\(x^2+y^2+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge2.\sqrt{x}+2.\sqrt{y}=2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\)
Vậy ta có điều phải chứng mình
Ta đi chứng minh:\(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\)* đúng *
Khi đó:
\(\frac{1}{a^3+b^3+abc}\le\frac{1}{ab\left(a+b\right)+abc}=\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}=\frac{c}{abc\left(a+b+c\right)}\)
Tương tự:
\(\frac{1}{b^3+c^3+abc}\le\frac{a}{abc\left(a+b+c\right)};\frac{1}{c^3+a^3+abc}\le\frac{b}{abc\left(a+b+c\right)}\)
\(\Rightarrow LHS\le\frac{a+b+c}{abc\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{abc}\)
Áp dụng bđt AM - GM ta có :
\(\sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}}+\sqrt{b^2+\frac{1}{a^2}}\ge\sqrt{2\frac{a^2}{b^2}}+\sqrt{2\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{2}\frac{a}{b}+\sqrt{2}\frac{b}{a}\)
\(=\sqrt{2}\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\ge\sqrt{2}.2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}=2\sqrt{2}\)
Bài 1:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(x+\frac{1}{x}\ge2\sqrt{x\cdot\frac{1}{x}}=2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=1\)
Bài 2:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(a^2+b^2+c^2+d^2\ge4\sqrt[4]{a^2b^2c^2d^2}=4\) (1)
\(ab+cd\ge2\sqrt{abcd}=2\) (2)
\(ac+bd\ge2\sqrt{acbd}=2\) (3)
\(ad+bc\ge2\sqrt{adbc}=2\) (4)
Cộng theo vế của (1),(2),(3),(4) ta có điều phải chứng minh
Dấu "=" khi \(\begin{cases}a=b=c=d\\abcd=1\end{cases}\)\(\Rightarrow a=b=c=d=\frac{1}{4}\)
1) \(x+\frac{1}{x}\ge2\left(1\right)\)
<=> \(\frac{x^2+1}{x}\ge2\)
<=> x2 + 1 \(\ge\)2x
<=> x2 + 1 - 2x \(\ge\) 0
<=> (x - 1)2 \(\ge\)0 (2)
Bđt (2) đúng vậy bđt (1) được chứng minh
b) Áp dụng bđt AM-GM cho 10 số dương ta có:
a2+b2+c2+d2+ab+ac+ad+bc+bd+cd
\(\ge10\sqrt[10]{a^2.b^2.c^2.d^2.ab.ac.ad.bc.bd.cd}=10\sqrt[10]{\left(a.b.c.d\right)^5}\)
\(=10\sqrt[10]{1}=10\left(đpcm\right)\)
Có \(a+\frac{1}{b\left(a-b\right)^2}=\left(a-b\right)+b+\frac{1}{b\left(a-b\right)^2}=\frac{a-b}{2}+\frac{a-b}{2}+b+\frac{1}{b\left(a-b\right)^2}\)
Áp dụng BĐT Cosi cho 4 số ta có:
\(\frac{a-b}{2}+\frac{a-b}{2}+b+\frac{1}{b\left(a-b\right)^2}\ge4\sqrt[4]{\frac{a-b}{2}\cdot\frac{a-b}{2}\cdot b\cdot\frac{1}{b\left(a-b\right)^2}}\)
\(=4\cdot\sqrt[4]{\frac{1}{4}}=1\cdot\frac{\sqrt{1}}{2}=2\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow a+\frac{1}{b\left(a-b\right)^2}\ge2\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{a-b}{2}=b\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{2}=\frac{3b}{2}\Leftrightarrow a=3b\)
Cách giải: Linh Vy. Trình bày: Nhật Quỳnh
\(A=\frac{1}{ab}+\frac{1}{a^2+b^2}=\frac{1}{2ab}+\left(\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}\right)\)
ta có : \(\left(\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}\right)\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{\left(2ab+a^2+b^2\right)}=\frac{4}{\left(a+b\right)^2}=4\)
và \(1=a+b\ge2\sqrt{ab}\Leftrightarrow ab\le\frac{1}{4}\Leftrightarrow\frac{1}{2ab}\ge2\)
=> A >/ 6 (dpcm)
\(\frac{a^2+b^2}{a-b}\ge2\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2+\left(\frac{1}{a}\right)^2}{a-\frac{1}{a}}\ge2\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^4+1}{a^3-a}\ge2\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow a^4-2\sqrt{2}a^3+2\sqrt{2}a+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-\sqrt{2}a-1\right)^2\ge0\)( đúng )
Dấu = xảy ra khi:
\(a^2-\sqrt{2}a-1^2=0\)
\(\Rightarrow a=\sqrt{2+\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow b=\sqrt{2-\sqrt{3}}\)