Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt: \(\frac{a}{2013}=\frac{b}{2012}=\frac{c}{2011}=k\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=2013k\\b=2012k\\c=2011k\end{cases}}\)
\(P=\frac{\left(a-c\right)^4}{\left(a-b\right)^2\left(b-c\right)^2}=\frac{\left(2013k-2011k\right)^4}{\left(2013k-2012k\right)^2\left(2012k-2011k\right)^2}=\frac{16k^4}{k^4}=16\)
Từ \(a+b+c=6\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b=6-c\\b+c=6-a\\a+c=6-b\end{cases}}\)
\(\Rightarrow A=\frac{b+c+5}{a+1}+\frac{c+a+4}{b+2}+\frac{a+b+3}{c+3}\)
\(=\frac{6-a+5}{a+1}+\frac{6-b+4}{b+2}+\frac{6-c+3}{c+3}\)
\(=\frac{11-a}{a+1}+\frac{10-b}{b+2}+\frac{9-c}{c+3}\)
\(=-1+\frac{12}{a+1}-1+\frac{12}{b+2}-1+\frac{12}{c+3}\)
\(=-3+12\left(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+3}\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwrarz dưới dạng Engel ta có :
\(A\ge-3+12.\frac{\left(1+1+1\right)^2}{6+\left(a+b+c\right)}=-3+12.\frac{9}{12}=6\) (đpcm)
Bài 2)
Ta có \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\)
\(\Rightarrow ad< bc\)
Xét \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}\)
\(\Rightarrow a\left(b+d\right)< b\left(a+c\right)\)
\(\Rightarrow ab+ad< ab+bc\)
\(\Rightarrow ad< bc\) ( thỏa mãn đề bài )
Vậy \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}\) (1)
Xét \(\frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)
\(\Rightarrow d\left(a+c\right)< c\left(b+d\right)\)
\(\Rightarrow ad+cd< bc+cd\)
\(\Rightarrow ad< bc\) ( thỏa mãn đề bài )
Vậy \(\frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\) (2)
Từ (1) và (2)
\(\Rightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\) (đpcm)
\(A=\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2014}}{2013+\frac{2013}{2}+\frac{2012}{3}+...+\frac{1}{2014}}\)
Đặt \(B=2013+\frac{2013}{2}+\frac{2012}{3}+...+\frac{1}{2014}\)
\(=\left(2013-2013\right)\left(\frac{2013}{2}+1\right)+...+\left(\frac{1}{2014}+1\right)\)
\(=0+\frac{2015}{2}+\frac{2015}{3}+...+\frac{2015}{2014}\)
\(=2015\cdot\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2014}\right)\)
Thay B vào A ta được:
\(A=\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2014}}{2015\cdot\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2014}\right)}\)
\(=\frac{1}{2015}\)
Vậy \(A=\frac{1}{2015}\)
a+b=a3+b3=a2+b2 <=> a và b =1 hoặc a và b=0
Mà a,b > 0 => a+b >0 => a=b=1
=> a2012 + b2013 = 1+ 1= 2
Vậy: ...........................