Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Tìm max:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\(A^2=(2x+\sqrt{5-x^2})^2\leq (x^2+5-x^2)(2^2+1)=25\)
\(\Rightarrow A\leq 5\)
Vậy \(A_{\max}=5\Leftrightarrow x=2\)
Tìm min:
ĐKXĐ: \(5-x^2\geq 0\Leftrightarrow -\sqrt{5}\leq x\leq \sqrt{5}\)
Do đó : \(A=2x+\sqrt{5-x^2}\geq 2x\geq -2\sqrt{5}\)
Vậy \(A_{\min}=-2\sqrt{5}\Leftrightarrow x=-\sqrt{5}\)
Bài 2 bạn xem xem có viết nhầm đề bài không nhé.
\(A=\frac{3a}{2a-b}+\frac{3c}{2c-b}-2\)
Chỉ cần cho $b$ càng nhỏ thì giá trị của $A$ càng nhỏ rồi, mà lại không có điều kiện gì của $b$ ?
Ta có: \(P=\left(a^2+\frac{1}{16a^2}\right)+\left(b^2+\frac{1}{16b^2}\right)+\frac{15}{16}\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)\)
sử dụng bđt cô-si có: \(a^2+\frac{1}{16a^2}\ge\frac{1}{2};b^2+\frac{1}{16b^2}\ge\frac{1}{2};\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge\frac{2}{ab}=\frac{4}{2ab}\)
Lại có: \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge\frac{4}{a^2+b^2}\)
\(\Rightarrow2\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)\ge4\left(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\right)\ge4\frac{4}{a^2+b^2+2ab}=\frac{16}{\left(a+b\right)^2}=16\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge8\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{15}{2}=\frac{17}{2}\)
Dấu '=' xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}a=b\\a+b=1\end{cases}\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}}\)
Đặt \(x=2a\)và \(y=2b\)suy ra \(\hept{\begin{cases}x>0\\y>0\\x+y\le2\end{cases}}\)
Suy ra : \(A=\frac{x}{y+2}+\frac{y}{x+2}+\frac{2}{x+y}\)
\(\Rightarrow A=\frac{x^2}{xy+2x}+\frac{y^2}{xy+2y}+\frac{2}{x+y}\)
\(\Rightarrow A\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2\left(xy+x+y\right)}+\frac{2}{x+y}\)
\(\Rightarrow A\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2\left(\frac{\left(x+y\right)^2}{4}+\left(x+y\right)\right)}+\frac{2}{x+y}\)
Đặt \(t=x+y\)( \(0< t\le2\))
Suy ra :
\(\Rightarrow A\ge\frac{t^2}{\frac{t^2}{2}+2t}+\frac{2}{t}\)
\(\Rightarrow A\ge\frac{2t}{t+4}+\frac{2}{t}\)
\(\Rightarrow A\ge\frac{2t}{t+4}+\frac{4}{3}.\frac{1}{t}+\frac{2}{3}.\frac{1}{t}\)
\(\Rightarrow A\ge2\sqrt{\frac{2t}{t+4}.\frac{4}{3}.\frac{1}{t}}+\frac{2}{3}.\frac{1}{t}\)
\(\Rightarrow A\ge2\sqrt{\frac{8}{3\left(t+4\right)}}+\frac{2}{3}.\frac{1}{t}\)
\(\Rightarrow A\ge2\sqrt{\frac{8}{3.\left(2+4\right)}}+\frac{2}{3}.\frac{1}{2}=\frac{5}{3}\)
"=" xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
Bài 1:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\(M^2=(a\sqrt{9b(a+8b)}+b\sqrt{9a(b+8a)})^2\)
\(\leq (a^2+b^2)(9ab+72b^2+9ab+72a^2)\)
\(\Leftrightarrow M^2\leq (a^2+b^2)(72a^2+72b^2+18ab)\)
Áp dụng BĐT AM-GM: \(a^2+b^2\geq 2ab\Rightarrow 18ab\leq 9(a^2+b^2)\)
Do đó, \(M^2\leq (a^2+b^2)(72a^2+72b^2+9a^2+9b^2)=81(a^2+b^2)^2\)
\(\Leftrightarrow M\leq 9(a^2+b^2)\leq 144\)
Vậy \(M_{\max}=144\Leftrightarrow a=b=\sqrt{8}\)
Bài 6:
\(a+\frac{1}{a-1}=1+(a-1)+\frac{1}{a-1}\)
Vì \(a>1\rightarrow a-1>0\). Do đó áp dụng BĐT Am-Gm cho số dương\(a-1,\frac{1}{a-1}\) ta có:
\((a-1)+\frac{1}{a-1}\geq 2\sqrt{\frac{a-1}{a-1}}=2\)
\(\Rightarrow a+\frac{1}{a-1}=1+(a-1)+\frac{1}{a-1}\geq 3\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(a-1=1\Leftrightarrow a=2\)
Bài 3:
Xét \(\sqrt{a^2+1}\). Vì \(ab+bc+ac=1\) nên:
\(a^2+1=a^2+ab+bc+ac=(a+b)(a+c)\)
\(\Rightarrow \sqrt{a^2+1}=\sqrt{(a+b)(a+c)}\)
Áp dụng BĐT AM-GM có: \(\sqrt{(a+b)(a+c)}\leq \frac{a+b+a+c}{2}=\frac{2a+b+c}{2}\)
hay \(\sqrt{a^2+1}\leq \frac{2a+b+c}{2}\)
Hoàn toàn tương tự với các biểu thức còn lại và cộng theo vế:
\(\sqrt{a^2+1}+\sqrt{b^2+1}+\sqrt{c^2+1}\leq \frac{2a+b+c}{2}+\frac{2b+a+c}{2}+\frac{2c+a+b}{2}=2(a+b+c)\)
Ta có đpcm. Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Bài 4:
Ta có:
\(A=\frac{8a^2+b}{4a}+b^2=2a+\frac{b}{4a}+b^2\)
\(\Leftrightarrow A+\frac{1}{4}=2a+\frac{b+a}{4a}+b^2=2a+b+\frac{b+a}{4a}+b^2-b\)
Vì \(a+b\geq 1, a>0\) nên \(A+\frac{1}{4}\geq a+1+\frac{1}{4a}+b^2-b\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(a+\frac{1}{4a}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}}=1\)
\(\Rightarrow A+\frac{1}{4}\geq 2+b^2-b=\left(b-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{7}{4}\geq \frac{7}{4}\)
\(\Leftrightarrow A\geq \frac{3}{2}\).
Vậy \(A_{\min}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)
Áp dụng BĐt cô-si, ta có \(\frac{2\left(a+b\right)^2}{2a+3b}\ge\frac{8ab}{2a+3b}=\frac{8}{\frac{2}{b}+\frac{3}{a}}\)
\(\frac{\left(b+2c\right)^2}{2b+c}\ge\frac{8bc}{2b+c}=\frac{8}{\frac{2}{c}+\frac{1}{b}}\)
\(\frac{\left(2c+a\right)^2}{c+2a}\ge\frac{8ac}{c+2a}\ge\frac{8}{\frac{1}{a}+\frac{2}{c}}\)
Cộng 3 cái vào, ta có
A\(\ge8\left(\frac{1}{\frac{2}{b}+\frac{3}{a}}+\frac{1}{\frac{1}{b}+\frac{2}{c}}+\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{2}{c}}\right)\ge8\left(\frac{9}{\frac{3}{b}+\frac{4}{c}+\frac{4}{a}}\right)=8.\frac{9}{3}=24\)
Vậy A min = 24
Neetkun ^^
Câu 4:
Để C chia hết cho D thì \(x^4+a⋮x^2+4\)
\(\Leftrightarrow x^4-16+a+16⋮x^2+4\)
=>a+16=0
hay a=-16
Câu 2-Ta có x^2+y^2=5
(x+y)^2-2xy=5
Đặt x+y=S. xy=P
S^2-2P=5
P=(S^2-5)/2
Ta lại có P=x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)=S^3-3SP=S^3-3S(S^2-5)/2
Rùi tự tính
Câu1
Ta có P<=a+a/4+b+a/12+b/3+4c/3 (theo bdt cô sy)
=> P<=4/3(a+b+c)=4/3
Vậy Max p =4/3 khi a=4b=16c
Ta có: \(\left(a+b\right)^2\ge4ab=16\Rightarrow a+b\ge4\Rightarrow a+b-4\ge0\)
\(P=\dfrac{1+b+1+a}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}=\dfrac{a+b+2}{ab+a+b+1}=\dfrac{a+b+2}{a+b+5}\)
\(P=\dfrac{3a+3b+6}{3\left(a+b+5\right)}=\dfrac{2\left(a+b+5\right)+\left(a+b-4\right)}{3\left(a+b+5\right)}\ge\dfrac{2\left(a+b+5\right)}{3\left(a+b+5\right)}=\dfrac{2}{3}\)
\(P_{min}=\dfrac{2}{3}\) khi \(a=b=2\)