Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 1: \(a+\frac{1}{b\left(a-b\right)}=\left(a-b\right)+b+\frac{1}{b\left(a-b\right)}\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta thu được đpcm (mình làm ở đâu đó rồi mà:)
Dấu "=" xảy ra khi a =2; b =1 (tự giải ra)
Bài 2: Thêm đk a,b,c >0.
Theo BĐT Cauchy \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{c^2}}=\frac{2a}{c}\). Tương tự với hai cặp còn lại và cộng theo vế ròi 6chia cho 2 hai có đpcm.
Bài 3: Nó sao sao ấy ta?
Đề phải là \(a;b;c>0\) lần sau chú ý mà gõ -_-
Ta có : \(\frac{a^3}{b+c}+\frac{a\left(b+c\right)}{4}\ge2\sqrt{\frac{a^3}{b+c}.\frac{a\left(b+c\right)}{4}}=a^2\)(BĐT Cosi)
Tương tự \(\hept{\begin{cases}\frac{b^3}{a+c}+\frac{b\left(a+c\right)}{4}\ge b^2\\\frac{c^3}{a+b}+\frac{c\left(a+b\right)}{4}\ge c^2\end{cases}}\)
Cộng vế với vế của các BĐT vừa chứng minh lại ta được :
\(\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{a+c}+\frac{c^3}{a+b}+\frac{ab+ac+bc}{2}\ge a^2+b^2+c^2\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{a+c}+\frac{c^3}{a+b}\ge a^2+b^2+c^2-\frac{ab+ac+bc}{2}\)
\(\ge a^2+b^2+c^2-\frac{a^2+b^2+c^2}{2}=\frac{a^2+b^2+c^2}{2}=\frac{1}{2}\) (Do \(a^2+b^2+c^2\ge ab+ac+bc\))
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Giả sử: \(a\ge b\ge c\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^2\ge b^2\ge c^2\\\frac{a}{b+c}\ge\frac{b}{a+c}\ge\frac{c}{a+b}\end{cases}}\)
Áp dụng BĐT Chebyshev ta có:
\(a^2.\frac{a}{b+c}+b^2.\frac{b}{a+c}+c^2.\frac{c}{a+b}\)\(\ge\frac{a^2+b^2+c^2}{3}\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{b+c}\right)\)\(=\frac{1}{3}.\frac{3}{2}=\frac{1}{2}\)
Vậy \(\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{a+c}+\frac{c^3}{a+b}\) Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
a)Bạn đặt A = a/ (1 + a^2). => A + a^2A = a => a^2A - a + A = 0. ta có delta = 1 - 4A^2 ( gọi ẩn số là a). => để pt có nghiệm <=> 1 - 4A^2 >= 0 => để phương trình có nghiệm => 1 - 4A^2 >= 0 => 1 >= 4A^2 => A =< 1/2. => max A = 1/2. bạn giải tương tự B = b/(1+b^2), C = c/(1 + c^2) rồi cộng vào nhau là ra ngay thôi. Đây là cách giải bằng delta.
b)bạn có (a^2 - b^2)/c = ((a+b)(a-b))/c >= (c + c)(a-b)/c = 2(a - b). Bạn có c =< b ( theo đề bài) = > c + b =< 2b => (c + b) =<2b => (c + b)/b <= 2 => (c + b)/a <= 2. từ đó ta có (c^2 - b^2)/a = (c -b )(c + b)/a >= 2(c - b).
chứng minh tương tự:(a + c)/b > 1 => (a^2 - c^2)/b >= a - c.( sr ngại gõ lắm) => cộng 3 vế ta được đpcm
a/ BĐT sai, cho \(a=b=c=2\) là thấy
b/ \(VT=\frac{a^4}{a^2+2ab}+\frac{b^4}{b^2+2bc}+\frac{c^4}{c^2+2ac}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}{\left(a+b+c\right)^2}\)
\(VT\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)^2}{3\left(a+b+c\right)^2}=\frac{1}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
c/ Tiếp tục sai nữa, vế phải là \(\frac{3}{2}\) chứ ko phải \(2\), và hy vọng rằng a;b;c dương
\(VT=\frac{a^2}{abc.b+a}+\frac{b^2}{abc.c+b}+\frac{c^2}{abc.a+c}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{abc\left(a+b+c\right)+a+b+c}\)
\(VT\ge\frac{9}{3abc+3}\ge\frac{9}{\frac{3\left(a+b+c\right)^3}{27}+3}=\frac{9}{\frac{3.3^3}{27}+3}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Ta có:
\(a^3+b^3+b^3\ge3ab^2\) ; \(b^3+c^3+c^3\ge3bc^2\) ; \(c^3+a^3+a^3\ge3ca^2\)
Cộng vế với vế \(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge ab^2+bc^2+ca^2\)
\(\frac{a^5}{b^2}+\frac{b^5}{c^2}+\frac{c^5}{a^2}=\frac{a^6}{ab^2}+\frac{b^6}{bc^2}+\frac{c^6}{ca^2}\ge\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{ab^2+bc^2+ca^2}\ge\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{a^3+b^3+c^3}=a^3+b^3+c^3\)
Xét \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}-\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}=\frac{\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}=a-b\)
Tương tự, ta được: \(\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}-\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}=b-c\); \(\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}-\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}=c-a\)
Cộng theo vế của 3 đẳng thức trên, ta được: \(\left(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\right)\)\(-\left(\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\right)=0\)
\(\Rightarrow\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\)\(=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\)
Ta đi chứng minh BĐT phụ sau: \(a^2-ab+b^2\ge\frac{1}{3}\left(a^2+ab+b^2\right)\)(*)
Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\frac{2}{3}\left(a-b\right)^2\ge0\)*đúng*
\(\Rightarrow2LHS=\Sigma_{cyc}\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}=\Sigma_{cyc}\text{ }\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}\)\(\ge\Sigma_{cyc}\text{ }\frac{\frac{1}{3}\left(a+b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}=\frac{1}{3}\text{}\Sigma_{cyc}\left[\left(a+b\right)\right]=\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}\)
\(\Rightarrow LHS\ge\frac{a+b+c}{3}=RHS\)(Q.E.D)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
P/S: Có thể dùng BĐT phụ ở câu 3a để chứng minhxD:
1) ta chứng minh được \(\Sigma\frac{a^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}=\Sigma\frac{b^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\)
\(VT=\frac{1}{2}\Sigma\frac{a^4+b^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\ge\frac{1}{4}\Sigma\frac{a^2+b^2}{a+b}\ge\frac{1}{8}\Sigma\left(a+b\right)=\frac{a+b+c+d}{4}\)
bài 2 xem có ghi nhầm ko
Đặt b + c = x ; c + a = y ; a + b = z
=> a = (y + z - x) / 2 ; b = (x + z - y) / 2 ; c = (x + y - z) / 2
=> P = a/b+c + b/c+a + c/a+b = (y + z - x) / 2x + (x + z - y) / 2y + (x + y - z) / 2z
= 1/2. (y/x + z/x - 1 + x/y + z/y - 1 + x/z + y/z - 1) = 1/2. (x/y + y/x + x/z + z/x + y/z + z/y - 3)
Áp dụng BĐT A/B + B/A ≥ 0 hoặc Cô-si cũng được
=> P ≥ 1/2. (2 + 2 + 2 - 3) = 3/2 (đpcm)
Dấu = xảy ra <=> x = y = z <=> b+c = c+a = a+b <=> a = b = c
P = a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)
P + 3 = 1+ a/(b+c) + 1+ b/(c+a) + 1+ c/(a+b)
P + 3 = (a+b+c)/(b+c) + (a+b+c)/(b+c) + (a+b+c)/(c+a)
P + 3 = (a+b+c)[1/(b+c) + 1/(c+a) + 1/(a+b)] (*)
ad bđt cô si cho 3 số:
2(a+b+c) = (a+b) + (b+c) + (c+a) ≥ 3.³√(a+b)(b+c)(c+a)
1/(b+c) + 1/(c+a) + 1/(a+b) ≥ 3.³√1/(a+b)(b+c)(c+a)
nhân lại vế theo vế 2 bđt: 2(a+b+c)[1/(b+c) + 1/(c+a) + 1/(a+b)] ≥ 9
=> P + 3 ≥ 9/2 => P ≥ 3/2 (đpcm) ; dấu "=" khi a = b = c
- - -
cách khác: P = a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)
M = b/(b+c) + c/(c+a) + a/(a+b)
N = c/(b+c) + a/(c+a) + b/(a+b)
Thấy: M + N = 3
P + M = (a+b)/(b+c) + (b+c)/(c+a) + (c+a)/(a+b) ≥ 3 (cô si cho 3 số)
P + N = (a+c)/(b+c) + (b+a)/(c+a) + (c+b)/(a+b) ≥ 3 (cô si)
=> 2P + M + N ≥ 6 => 2P + 3 ≥ 6 => P ≥ 3/2 (đpcm) ; đẳng thức khi a = b = c
--------------
b) ad bđt Bunhia: 1² = [2.(2x) + 1.y]² ≤ (2²+1²)(4x²+y²) => 4x² + y² ≥ 1/5 (đpcm)
dấu "=" khi 2x/2 = y/1 và 4x+y = 1 <=> x = y = 1/5
- - -
Có thể không cần Bunhia, ad bđt a² + b² ≥ 2ab (*)
(*) quá hiển nhiên từ (a-b)² ≥ 0
x² + 1/25 ≥ 2x/5 <=> 4x² ≥ 8x/5 - 4/25 (1*)
y² + 1/25 ≥ 2y/5 <=> y² ≥ 2y/5 - 1/25 (2*)
lấy (1*)+(2*) => 4x²+y² ≥ 8x/5+2y/5 - 4/25 - 1/25 = 2(4x+y)/5 - 5/25 = 1/5 (đpcm)
dấu "=" khi x = y = 1/5
Ta có:
\(\frac{a}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\)
Áp dụng BĐT AM-GM cho các số không âm, ta có:
\(1+b^2\ge2b\Rightarrow\frac{1}{1+b^2}\le\frac{1}{2b}\Rightarrow-\frac{1}{1+b^2}\ge-\frac{1}{2b}\)\(\Rightarrow-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge-\frac{ab}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{1+b^2}\ge a-\frac{ab}{2}\)
CMTT: \(\frac{b}{1+c^2}\ge b-\frac{bc}{2};\frac{c}{1+a^2}\ge c-\frac{ca}{2}\)
\(\Rightarrow BĐT\ge a+b+c-\frac{ab+bc+ca}{2}\)\(=3-\frac{ab+bc+ca}{2}\)
Mặt khác ta có:
\(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow3\ge ab+bc+ca\)\(\Leftrightarrow-\frac{3}{2}\le-\frac{ab+bc+ca}{2}\)
\(\Rightarrow BĐT\ge3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)(đpcm)
\(''=''\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Cần cù bù thông minh ( ͡° ͜ʖ ͡°)
\(BDT\Leftrightarrow\frac{a^3+abc}{b^2+c^2}-a+\frac{b^3+abc}{c^2+a^2}-b+\frac{c^3+abc}{a^2+b^2}-c\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a\left(a^2+bc-b^2-c^2\right)}{b^2+c^2}+\frac{b\left(b^2+ac-c^2-a^2\right)}{c^2+a^2}+\frac{c\left(c^2+ab-a^2-b^2\right)}{a^2+b^2}\ge0\)
\(\LeftrightarrowΣ_{cyc}\frac{a\left(\left(a-b\right)\left(a+2b-c\right)-\left(c-a\right)\left(a+2c-b\right)\right)}{b^2+c^2}\ge0\)
\(\LeftrightarrowΣ_{cyc}\left(\left(a-b\right)\left(\frac{a\left(a+2b-c\right)}{b^2+c^2}-\frac{b\left(b+2a-c\right)}{a^2+c^2}\right)\right)\ge0\)
\(\LeftrightarrowΣ_{cyc}\left((a-b)^2\left(\frac{(a^3+b^3-c^3+3a^2b+3ab^2-a^2c-b^2c-abc+ac^2+bc^2)}{(a^2+c^2)(b^2+c^2)}\right)\right)\ge0\)