Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(bdt\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc-\frac{\left(a+b\right)^2}{26}-\frac{\left(b-c\right)^2}{6}-\frac{\left(c-a\right)^2}{2009}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]-\frac{\left(a+b\right)^2}{26}-\frac{\left(b-c\right)^2}{6}-\frac{\left(c-a\right)^2}{2009}\ge0\)
Đặt \(a-b=x;b-c=y;c-a=z\) nên
\(bdt\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left(x^2+y^2+z^2\right)-\frac{x^2}{26}-\frac{y^2}{6}-\frac{z^2}{2009}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x^2}{2}-\frac{x^2}{26}\right)+\left(\frac{y^2}{2}-\frac{y^2}{6}\right)+\left(\frac{z^2}{2}-\frac{z^2}{2009}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{6x^2}{13}+\frac{y^2}{3}+\frac{2007z^2}{4018}\ge0\)(luôn đúng \(\forall x;y;z\))
Vậy BTĐ đã được chứng minh
đặt \(\sqrt{\frac{ab}{c}}=x;\sqrt{\frac{bc}{a}}=y;\sqrt{\frac{ca}{b}}=z\Rightarrow xy+yz+zx=1\)
\(P=\frac{ab}{ab+c}+\frac{bc}{bc+a}+\frac{ca}{ca+b}\)
\(=\frac{\frac{ab}{c}}{\frac{ab}{c}+1}+\frac{\frac{bc}{a}}{\frac{bc}{a}+1}+\frac{\frac{ca}{b}}{\frac{ca}{b}+1}=\frac{x^2}{x^2+1}+\frac{y^2}{y^2+1}+\frac{z^2}{z^2+1}\)
\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}=\frac{3}{4}\left(Q.E.D\right)\)
SAI ĐỀ vì nếu thử \(a=-1;b=-2;c=3\)
thì thỏa mãn đề bài nhưng \(a^2+b^2+c^2=\left(-1\right)^2+\left(-2\right)^2+3^2=14⋮̸3\)
Câu 1: a)
b) Áp dụng Bđt Holder ta có:
\(\Rightarrow9\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\left(a+b+c\right)^3\)
\(\Rightarrow\frac{a^3+b^3+c^3}{3}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^3}{27}=\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3\)(đpcm)
Dấu = khi a=b=c
Câu 2:
Áp dụng Bđt \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)ta có:
\(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\ge\frac{4}{a+b+1+1}=\frac{4}{3}\)(Đpcm)
Dấu = khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
Câu 3:
Áp dụng Bđt \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\)ta có:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=9\left(a+b+c=1\right)\)(Đpcm)
Dấu = khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Câu 4: nghĩ sau