Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
quy đồng mẫu số ta được
\(\frac{\left(a-b\right)^2}{a\left(a^2-b^2\right)}+\frac{\left(a+b\right)^2}{a\left(a^2-b^2\right)}=\frac{a\left(3a-b\right)}{a\left(a^2-b^2\right)}\)<=> (a-b)2 +(a+b)2 = a(3a-b) <=> a2- ab- 2b2= 0 <=> (a+ b)(a- 2b) = 0
<=> a=-b hoăc a =2b
với a= -b => P= \(\frac{-b^3+2b^3+2b^3}{-2b^3-b^3+2b^3}=-3\)
với a =2b => P= \(\frac{\left(2b\right)^3+2.\left(2b\right)^2b+2b^3}{2.\left(2b\right)^3+2b.b^2+2b^3}=\frac{3}{2}\)
1. Ta thấy:
\(\frac{(a-b)^3}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^3}-b\sqrt{b}+2a\sqrt{a}=\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^3(\sqrt{a}+\sqrt{b})^3}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^3}-b\sqrt{b}+2a\sqrt{a}\)
\(=(\sqrt{a}+\sqrt{b})^3-b\sqrt{b}+2a\sqrt{a}=a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+3\sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b})-b\sqrt{b}+2a\sqrt{a}\)
\(=3a\sqrt{a}+3\sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b})=3\sqrt{a}(a+\sqrt{ab}+b)\)
$a\sqrt{a}-b\sqrt{b}=(\sqrt{a}-\sqrt{b})(a+\sqrt{ab}+b)$
\(\frac{\frac{(a-b)^3}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^3}-b\sqrt{b}+2a\sqrt{a}}{a\sqrt{a}-b\sqrt{b}}=\frac{3\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}(1)\)
\(\frac{3a+3\sqrt{ab}}{b-a}=\frac{3\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{(\sqrt{b}-\sqrt{a})(\sqrt{b}+\sqrt{a})}=\frac{-3\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}(2)\)
Từ $(1);(2)$ ta có đpcm.
Câu 2:
Điều kiện đã cho tương đương với:
$\frac{a-b}{a(a+b)}+\frac{a+b}{a(a-b)}=\frac{3a-b}{(a-b)(a+b)}$
$\Leftrightarrow \frac{(a-b)^2}{a(a+b)(a-b)}+\frac{(a+b)^2}{a(a-b)(a+b)}=\frac{a(3a-b)}{a(a-b)(a+b)}$
$\Leftrightarrow (a-b)^2+(a+b)^2=a(3a-b)$
$\Leftrightarrow 2a^2+2b^2=3a^2-ab$
$\Leftrightarrow a^2-ab-2b^2=0$
$\Leftrightarrow (a+b)(a-2b)=0$
$\Leftrightarrow a=-b$ hoặc $a=2b$
Nếu $a=-b$ thì $|a|=|b|$ (trái giả thiết). Do đó $a=2b$
Khi đó:
$P=\frac{(2b)^3+2(2b)^2.b+3b^3}{2(2b)^3+2b.b^2+b^3}=\frac{19b^3}{19b^3}=1$
Coi như biểu thức xác định
\(\frac{a-b}{a\left(a+b\right)}+\frac{a+b}{a\left(a-b\right)}=\frac{3a-b}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a+b\right)^2=a\left(3a-b\right)\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2=3a^2-ab\)
\(\Leftrightarrow a^2-ab-2b^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a-2b\right)=0\)
\(\Leftrightarrow a=2b\Leftrightarrow\frac{a}{b}=2\)
\(P=\frac{\left(\frac{a}{b}\right)^3+2\left(\frac{a}{b}\right)^2+2}{2\left(\frac{a}{b}\right)^3+\frac{a}{b}+2}=\frac{2^3+2.2^2+2}{2.2^3+2+2}=...\)
B3 mk tìm đc cách giải r nhưng bạn nào muốn thì trả lời cg đc
Các bạn giải giúp mình B2 và B5 nhé. Mấy bài kia mình giải được rồi.
Ta có:
\(\frac{2a^5+3b^5}{ab}\ge5a^3+10b^3-10ab^2\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^4\left(2a+3b\right)\ge0\).Tương tự với 2 cái còn lại được:
\(\frac{2a^5+3b^5}{ab}+\frac{2b^5+3c^5}{cb}+\frac{2c^5+3a^5}{ab}\ge15\left(a^3+b^3+c^3\right)-10\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)\)
=>Đpcm (vì ab2+bc2+ca2=3)
Dấu = khi a=b=c=1
1. Vai trò a, b, c như nhau. Không mất tính tổng quát. Giả sử \(a\ge b\ge0\)
Mà \(ab+bc+ca=3\). Do đó \(ab\ge1\)
Ta cần chứng minh rằng \(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\ge\frac{2}{1+ab}\left(1\right)\)
Và \(\frac{2}{1+ab}+\frac{1}{1+c^2}\ge\frac{3}{2}\left(2\right)\)
Thật vậy: \(\left(1\right)\Leftrightarrow\frac{1}{1+a^2}-\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+b^2}-\frac{1}{1+ab}\ge0\\ \Leftrightarrow\left(ab-a^2\right)\left(1+b^2\right)+\left(ab-b^2\right)\left(1+a^2\right)\ge0\\ \Leftrightarrow\left(a-b\right)\left[-a\left(1+b^2\right)+b\left(1+a^2\right)\right]\ge0\\ \Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(ab-1\right)\ge0\left(BĐT:đúng\right)\)
\(\left(2\right)\Leftrightarrow c^2+3-ab\ge3abc^2\\ \Leftrightarrow c^2+ca+bc\ge3abc^2\Leftrightarrow a+b+c\ge3abc\)
BĐT đúng, vì \(\left(a+b+c\right)^2>3\left(ab+bc+ca\right)=q\)
và \(ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}\)
Nên \(a+b+c\ge3\ge3abc\)
Từ (1) và (2) ta có \(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}\ge\frac{3}{2}\)
Dấu ''='' xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Áp dụng BĐT Cauchy dạng \(\frac{9}{x+y+z}\le\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\), ta được
\(\frac{9}{a+3b+2c}=\frac{1}{a+c+b+c+2b}\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{2b}\right)\)
Do đó ta được
\(\frac{ab}{a+3b+2c}\le\frac{ab}{9}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{2b}\right)=\frac{1}{9}\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}+\frac{a}{2}\right)\)
Hoàn toàn tương tự ta được
\(\frac{bc}{2a+b+3c}\le\frac{1}{9}\left(\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{b}{2}\right);\frac{ac}{3a+2b+c}\le\frac{1}{9}\left(\frac{ac}{a+b}+\frac{ac}{b+c}+\frac{c}{2}\right)\)
Cộng theo vế các BĐT trên ta được
\(\frac{ab}{a+3b+2c}+\frac{bc}{b+3c+2a}+\frac{ca}{c+3a+2b}\le\frac{1}{9}\left(\frac{ac+bc}{a+b}+\frac{ab+ac}{b+c}+\frac{bc+ab}{a+c}+\frac{a+b+c}{2}\right)=\frac{a+b+c}{6}\)Vậy BĐT đc CM
ĐẲng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c >0
mấy bài cơ bản nên cũng dễ, mk có thể giải hết cho bn vs 1 đk : bn đăng từng câu 1 thôi nhé !
bài 3 có thể lên gg tìm kỹ thuật AM-GM (cosi) ngược dấu
bài 8 c/m bđt phụ 5b3-a3/ab+3b2 </ 2b-a ( biến đổi tương đương)
những câu còn lại 1 nửa dùng bđt AM-GM , 1 nửa phân tích nhân tử ròi dựa vào điều kiện
Quy đồng lên :3