Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(\frac{a+1}{a}+\frac{b+1}{b}=\frac{ab+a+b+ab}{ab}=2+\frac{a+b}{ab}\in Z\)
\(\Rightarrow\frac{a+b}{ab}\in Z\forall a,b>0\) nên \(\frac{a+b}{ab}\ge1\Rightarrow a+b\ge ab\)
Do d là ước a nên \(a⋮d\Rightarrow a\ge d>0\)
d là ước b nên \(b⋮d\Rightarrow b\ge d>0\)
Suy ra \(ad\ge d^2\Rightarrow a+b\ge d^2\Rightarrow\sqrt{a+b}\ge d\)
Điều phải chứng minh
\(P=\frac{a+1}{a}+\frac{b+1}{b}=2+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=2+\frac{a+b}{ab}\)
\(\hept{\begin{cases}a,b>0\\P\in Z\end{cases}\Rightarrow ab\le\left(a+b\right)}\)(*) a,b vai trò như nhau; g/s \(a\le b\Rightarrow d\le a\le b\Rightarrow d^2\le ab\)
Từ (*)\(\Rightarrow d^2\le ab\le\left(a+b\right)\Rightarrow d\le\sqrt{ab}\le\sqrt{a+b}\)
Đẳng thức chỉ xẩy ra khi a=b=2=> dpcm
Đây là số học lớp 10.
Thiếu\(\left(a;b\right)=d\)
Vì \(\frac{a+1}{b}+\frac{b+1}{a}\inℤ\Rightarrow a^2+b^2+a+b⋮ab\)
Lại có:\(\hept{\begin{cases}a⋮d\\b⋮d\end{cases}}\)Suy ra ab\(⋮\)\(d^2\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+a+b⋮d^2\)
Mà \(a^2+b^2⋮d^2\)
Suy ra \(a+b⋮d^2\Rightarrow a+b\ge d^2\Rightarrow\sqrt{a+b}\ge d\)(đpcm)
1,
\(\frac{a}{1+\frac{b}{a}}+\frac{b}{1+\frac{c}{b}}+\frac{c}{1+\frac{a}{c}}=\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}\ge\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2}=\frac{2}{2}=1\left(Q.E.D\right)\)
B3 mk tìm đc cách giải r nhưng bạn nào muốn thì trả lời cg đc
Các bạn giải giúp mình B2 và B5 nhé. Mấy bài kia mình giải được rồi.
Câu 1: Đặt \(S=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}=\frac{x}{\sqrt{\left(1-x\right)\left(x+1\right)}}+\frac{y}{\sqrt{\left(1-y\right)\left(y+1\right)}}\)
\(\frac{S}{\sqrt{3}}=\frac{x}{\sqrt{\left(3-3x\right)\left(x+1\right)}}+\frac{y}{\sqrt{\left(3-3y\right)\left(y+1\right)}}\)
Áp dụng BĐT AM-GM: \(\sqrt{\left(3-3x\right)\left(x+1\right)}\le\frac{3-3x+x+1}{2}=\frac{4-2x}{2}=2-x\)
\(\Rightarrow\frac{x}{\sqrt{\left(3-3x\right)\left(x+1\right)}}\ge\frac{x}{2-x}\)
Tương tự: \(\frac{y}{\sqrt{\left(3-3y\right)\left(y+1\right)}}\ge\frac{y}{2-y}\)
Từ đó: \(\frac{S}{\sqrt{3}}\ge\frac{x}{2-x}+\frac{y}{2-y}=\frac{x^2}{2x-x^2}+\frac{y^2}{2y-y^2}\)
Áp dụng BĐT Schwarz: \(\frac{S}{\sqrt{3}}\ge\frac{x^2}{2x-x^2}+\frac{y^2}{2y-y^2}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2\left(x+y\right)-\left(x^2+y^2\right)}=\frac{1}{2-\left(x^2+y^2\right)}\)
Áp dụng BĐT \(\frac{x^2+y^2}{2}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\Rightarrow x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{S}{\sqrt{3}}\ge\frac{1}{2-\frac{1}{2}}=\frac{2}{3}\Leftrightarrow S\ge\frac{2\sqrt{3}}{3}=\frac{2}{\sqrt{3}}\)(ĐPCM).
Dấu bằng có <=> \(x=y=\frac{1}{2}\).
Câu 4: Sửa đề CMR: \(abcd\le\frac{1}{81}\)
Ta có: \(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}+\frac{1}{1+d}=3\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{1+a}=\left(1-\frac{1}{1+b}\right)+\left(1-\frac{1}{1+c}\right)+\left(1-\frac{1}{1+d}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{1+a}=\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}+\frac{d}{1+d}\ge3\sqrt[3]{\frac{bcd}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)\left(1+d\right)}}\)(AM-GM)
Tương tự:
\(\frac{1}{1+b}\ge3\sqrt[3]{\frac{acd}{\left(1+a\right)\left(1+c\right)\left(1+d\right)}}\)\(;\frac{1}{1+c}\ge3\sqrt[3]{\frac{abd}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+d\right)}}\)
\(\frac{1}{1+d}\ge3\sqrt[3]{\frac{abc}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\)
Nhân 4 BĐT trên theo vế thì có:
\(\frac{1}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\left(1+d\right)}\ge81\sqrt[3]{\frac{\left(abcd\right)^3}{\left[\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\left(1+d\right)\right]^3}}\)
\(=81.\frac{abcd}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\left(1+d\right)}\)
\(\Rightarrow81.abcd\le1\Leftrightarrow abcd\le\frac{1}{81}\)(ĐPCM)
Dấu "=" có <=> \(a=b=c=d=\frac{1}{3}\).
sorry rất nhìu
d là ước dương của a và b suy ra: \(\hept{\begin{cases}a=d.a^'\\b=d.b^'\end{cases}}\)
có \(\frac{a+1}{b}+\frac{b+1}{a}\)nguyên dương suy ra \(\frac{a^2+b^2+a+b}{ab}\)nguyên dương\(\Rightarrow a^2+b^2+a+b\)chia hết cho a.b
có \(a.b=d.a^'.d.b^'=a^'.b^'d^2\Rightarrow a^2+b^2+a+b\)chia hết cho \(d^2\)
ta có: \(a^2+b^2+a+b=d^2.\left(a^'\right)^2+d^2\left(b^'\right)^2+d.a^'+d.b^'\)
\(=d\left(d\left(a^'\right)^2+d\left(b^'\right)^2+a^'+b^'\right)\)chia hết cho \(d^2\)
suy ra \(d\left(a^'\right)^2+d\left(b^'\right)^2+a^'+b^'=d\left(a^'+b^'\right)+a^'+b^'\)chia hết cho d \(\Rightarrow a^'+b^'\)chia hết cho d.\(\Rightarrow a^'+b^'\ge d\Leftrightarrow d.a^'+d.b^'\ge d^2\Leftrightarrow a+b\ge d^2\Leftrightarrow d\le\sqrt{a+b}\)