Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
tớ viết lộn chỗ kia \(\left(\sqrt{2}.a.\frac{1}{\sqrt{2}}+b.1\right)^2\) thêm b.1 vô nka triều :D
cho mình xin đề bài với cho hỏi tại sao có
\(\left(a-b\right)^2\left(17a^2+10ab+9b^2\right)\ge0\)
để suy ra \(\sqrt{2a\left(a+b\right)^3}\le\frac{5}{2}a^2+\frac{3}{2}b^2\)
#Thắng: hình như là Ireland MO 2000 hay 2002 j đó , nãy vừa thấy trên fb <(")
Ta có BĐt cầnd chứng minh \(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)^2}{a^2+4}\le\frac{3}{2}\Leftrightarrow2\left(a+b\right)^2\le3\left(a^2+4\right)\)
<=>\(2\left(a^2+b^2+2ab\right)\le3\left(a^2+4\right)\Leftrightarrow2\left(4+2ab\right)\le12+3a^2\)
<=>\(4ab\le3a^2+4=4a^2+b^2\)
<=>\(0\le4a^2+b^2-4ab\Leftrightarrow0\le\left(2a-b\right)^2\left(LĐ\right)\)
=> BĐt cần chứng minh luôn đúng
^_^
\(x,y,z\ge1\)nên ta có bổ đề: \(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}\ge\frac{2}{ab+1}\)
ÁP dụng: \(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}+\frac{1}{1+\sqrt[3]{xyz}}\ge\frac{2}{1+\sqrt{xy}}+\frac{2}{1+\sqrt{\sqrt[3]{xyz^4}}}\)
\(\ge\frac{4}{1+\sqrt[4]{\sqrt[3]{x^4y^4z^4}}}=\frac{4}{1+\sqrt[3]{xyz}}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\ge\frac{3}{1+\sqrt[3]{xyz}}\)
Dấu = xảy ra \(x=y=z\)hoặc x=y,xz=1 và các hoán vị
trc giờ mấy bài này tui toàn quy đồng thôi, may có cách này =))
2)
\(\sqrt{12,1.360}=\sqrt{12,1}.\sqrt{36}.\sqrt{10}\)
\(=\sqrt{12,1.36.10}\)
= \(\sqrt{121.36}\)
\(=\sqrt{4356}\)
\(=66\)
3)
\(\sqrt{5a}.\sqrt{45a}-3a\)
\(=\sqrt{5.45a^2}-3a\)
\(=\sqrt{225a^2}-3a\)
\(=\sqrt{\left(15a\right)^2}-3a\)
\(=-15a-3a\) ( vì \(a\le0\))
\(=-18a\)
5)
\(\sqrt{0,36a^2}\)
\(=\sqrt{\left(0,6a\right)^2}\)
\(=-0,6a\) ( vì \(a< 0\) )
Để tối mình rảnh lên coi có làm tiếp được nữa hông thì mình làm ha.
Chúc bạn học tốt!
1)
\(\sqrt{3a^3}.\sqrt{12}\)
\(=\sqrt{3}.\sqrt{a^3}.\sqrt{12}\)
\(=\sqrt{3.12}.\sqrt{a^3}\)
\(=6\sqrt{a^3}\)
4)
\(\left(3-a\right)^2-\sqrt{0,2}.\sqrt{180a^2}\)
\(=9.6a.a^2-\sqrt{0,2}.\sqrt{18}.\sqrt{10}.\sqrt{a^2}\)
\(=54a^3-\sqrt{2}.\sqrt{18}.\sqrt{a^2}\)
\(=34a^3-\sqrt{2.18}.\sqrt{a^2}\)
\(=54a^3-6\sqrt{a^2}\)
\(=54a^3-6a^2\) ( vì a<0)
6)
\(\sqrt{a^4.\left(3-a^{ }\right)^2}\)
\(=\sqrt{\left(a^2\right)^2.\left(3-a\right)^2}\)
\(=\sqrt{\left(a^2\right)^2}.\sqrt{\left(3-a\right)^2}\)
\(=\left|a^2\right|\left|3-a\right|\) ( vì a>3 => a>3 nên 3-a<0)
Mà\(\left|3-a\right|=-\left(-3-a\right)=-3+a=a-3\)
\(=a^2\left(a-3\right)\)
\(=a^3-3a^2\)
Còn lại bạn làm tương tự nha, trể quá rùi :)))))
b) Đặt a+b=s và ab=p. Ta có: \(a^2+b^2=4-\left(\frac{ab+2}{a+b}\right)^2\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2-2ab+\frac{\left(ab+2\right)^2}{\left(a+b\right)^2}=4\)
\(\Leftrightarrow s^2-2p+\frac{\left(p+2\right)^2}{s^2}=4\Leftrightarrow s^4-2ps^2+\left(p+2\right)^2=4s^2\)
\(\Leftrightarrow s^4-2s^2\left(p+2\right)+\left(p+2\right)^2=0\Leftrightarrow\left(s^2-p-2\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow s^2-p-2=0\Leftrightarrow p+2=s^2\Leftrightarrow\sqrt{p+2}=\left|s\right|\Leftrightarrow\sqrt{ab+2}=\left|a+b\right|\)
Vì a, b là số hữu tỉ nên |a+b| là số hữu tỉ. Vậy \(\sqrt{ab+2}\)là số hữu tỉ
ta có \(A=\frac{3+\sqrt{5}}{4+\sqrt{2\left(3+\sqrt{5}\right)}}=\frac{3+\sqrt{5}}{4+\sqrt{6+2\sqrt{5}}}=\frac{3+\sqrt{5}}{4+\sqrt{\left(\sqrt{5}+1\right)^2}}=\frac{\left(3+\sqrt{5}\right)}{5+\sqrt{5}}\)\(=\frac{\left(5-\sqrt{5}\right)\left(3+\sqrt{5}\right)}{20}=\frac{5+\sqrt{5}}{10}\)
tương tự \(B=\frac{3-\sqrt{5}}{4-\sqrt{2\left(3-\sqrt{5}\right)}}=\frac{5-\sqrt{5}}{10}\)
\(\Rightarrow A-B=\frac{\sqrt{5}}{5},A+B=1;AB=\frac{1}{5}\)
vậy \(A^3-B^3=\left(A-B\right)\left(A^2+AB+B^2\right)=\left(A+B\right)\left[\left(A+B\right)^2-AB\right]=\frac{\sqrt{5}}{5}\left(1-\frac{1}{5}\right)\cdot\frac{4}{5}=\frac{4\sqrt{5}}{25}\)
Điểm rơi \(a=b=c=1\) nếu thay vào dễ thấy đề sai.
\(3.\sqrt{\frac{9}{\left(1+1\right)^2}+1^2}=\frac{3\sqrt{13}}{2}\)
Nếu giả thiết của em là đúng thì bài tương tự ở đây :D
Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki ta có :
\(\sum\sqrt{\frac{9}{\left(a+b\right)^2}+c^2}\ge\sqrt{\left(\frac{3}{a+b}+\frac{3}{b+c}+\frac{3}{c+a}\right)^2+\left(a+b+c\right)^2}\)
\(=\sqrt{9\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)^2+\left(a+b+c\right)^2}\ge\sqrt{\frac{729}{4\left(a+b+c\right)^2}+\left(a+b+c\right)^2}=\frac{3\sqrt{13}}{2}\)
Is that true ?? \("="\Leftrightarrow a=b=c=1\)
\(VT=\frac{a+b}{\sqrt{a^2+a^2+b^2}}=\frac{\frac{a}{b}+1}{\sqrt{2\left(\frac{a}{b}\right)^2+1}}\)
Giờ biến đổi tương đương là được.