Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có:
\(\frac{a^2}{a+1}+\frac{b^2}{b+1}\)
\(=\frac{a^2}{a+1}+\frac{a+1}{9}+\frac{b^2}{b+1}+\frac{b+1}{9}-\frac{1}{3}\)
\(\ge2\sqrt{\frac{a^2}{a+1}.\frac{a+1}{9}}+2\sqrt{\frac{b^2}{b+1}.\frac{b+1}{9}}-\frac{1}{3}\)
\(=\frac{2}{3}a+\frac{2}{3}b-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}\)
Dấu = xảy ra <=> a = b = 1/2
Áp dụng Cauchy Schwarz:
\(\frac{a^2}{a+1}+\frac{b^2}{b+1}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{a+b+2}=\frac{1}{3}\)
Đẳng thức xảy ra tại a=b=1/2
Có : (a-b)^2>=0
<=>a^2+b^2>=2ab (2)
<=>a^2+b^2+2ab>=4ab
<=>(a+b)^2>=4ab (1) hay 4ab<=(a+b)^2 (3)
Với a,b > 0 thì chia hai vế (1) cho ab.(a+b) ta được : a+b/ab >= 4/a+b <=> 1/a + 1/b >= 4/a+b (4)
Áp dụng bđt (2) ; (3) và (4) thì VT = (4/a^2+b^2 + 1/2ab) + (4ab+1/4ab)+1/4ab
>= 4/(a^2+b^2+2ab) + 2\(\sqrt{\frac{4ab.1}{4ab}}\)+ \(\frac{1}{\left(a+b\right)^2}\)
= 4/(a+b)^2 + 2 + 1/(a+b)^2 >= 4/1 + 2 + 1/1 = 7 => ĐPCM
Dấu "=" xảy ra <=> a=b ; a+b=1 <=> a=b=1/2
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{a+1}{b^2+1}=\left(a+1\right)-\frac{b^2\left(a+1\right)}{b^2+1}\ge\left(a+1\right)-\frac{b^2\left(a+1\right)}{2b}\)
\(=\left(a+1\right)-\frac{ab+b}{2}\). Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế:
\(VT\ge3+\left(a+b+c\right)-\frac{ab+bc+ca+a+b+c}{2}\)
\(\ge3+\left(a+b+c\right)-\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+a+b+c}{2}=3\)
Dấu "=" <=> \(a=b=c=1\)
\(Áp dụng BĐT AM-GM ta có: \(\frac{a+1}{b^2+1}=\left(a+1\right)-\frac{b^2\left(a+1\right)}{b^2+1}\ge\left(a+1\right)-\frac{b^2\left(a+1\right)}{2b}\) \(=\left(a+1\right)-\frac{ab+b}{2}\). Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế: \(VT\ge3+\left(a+b+c\right)-\frac{ab+bc+ca+a+b+c}{2}\) \(\ge3+\left(a+b+c\right)-\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+a+b+c}{2}=3\) Dấu "=" <=> \(a=b=c=1\)\)
\(\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)=1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{ab}\)(*)
Với a, b > 0 ta có :\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}=4\)
Ta lại có : 12 = (a +b)2 >= 4ab. Suy ra 1/ab >= 4
Vậy (*) >= 9
\(\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)=\left(1+\frac{a+b}{a}\right)\left(1+\frac{a+b}{b}\right)=\left(2+\frac{b}{a}\right)\left(2+\frac{a}{b}\right)\)
\(=4+\frac{2a}{b}+\frac{2b}{a}+1=5+\frac{2a}{b}+\frac{2b}{a}\ge5+2\sqrt{\frac{2a}{b}.\frac{2b}{a}}=9\left(BĐTcôsi\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi: a=b
Bạn xem lời giải ở đây nhé:
Câu hỏi của AgustD - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}>=\frac{4}{a+b}\Rightarrow2>=\frac{4}{a+b}\Rightarrow a+b>=2\) (bđt cauchy schwarz adangj engel)
\(a^4+b^2>=2\sqrt{a^4b^2}=2a^2b;a^2+b^4>=2\sqrt{a^2b^4}>=2ab^2;\frac{1}{a}+\frac{1}{b}>=2\sqrt{\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{b}}\Rightarrow2>=\frac{2}{\sqrt{ab}}\Rightarrow ab>=1\)(bđt cosi)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^4+b^2+2ab^2}+\frac{1}{a^2+b^4+2a^2b}< =\frac{1}{2a^2b+2ab^2}+\frac{1}{2ab^2+2a^2b}=\frac{2}{2a^2b+2ab^2}=\frac{2}{2ab\left(a+b\right)}\)
\(=\frac{1}{ab\left(a+b\right)}< =\frac{1}{1\cdot2}=\frac{1}{2}\)
dấu = xảy ra khi a=b=1
bạn có:
1/a^3(b+c) + 1/b^3(a+c) + 1/c^3(a+b) = (b^2.c^2)/(a^3.b^2.c^2.(b+c)) + (a^2.c^2)/(a^2.b^3.c^2(a+c)) + a^2.b^2/(a^2.b^2.c^3.(a+b)) (nhân cả tử với mẫu cho a , b , c tương ứng)
vì abc = 1 nên bạn sẽ có:
(b^2.c^2)/(a(b+c)) + a^2.c^2/(b(a+c)) + a^2.b^2/(c(a+b))
áp dụng bất đẳng thức Cauchy-schwarz( bất đẳng thức này bạn dễ dàng chứng minh được dựa vào bunhiacopsky, bạn cũng có thể lên mạng tìm hiểu :D)
(b^2.c^2)/(a(b+c)) + a^2.c^2/(b(a+c)) + a^2.b^2/(c(a+b)) >= (ac + ab + bc)^2/( a(b+c) + b(a+C) + c(a+b))
vế phải = (ac + ab + bc)^2/(2(ab + ac + bc) = (ac + ab + bc)/2 >= (3 căn bậc ba( a^2.b^2.c^2))/2 (bđt cauchy) >= 3.1/2 = 3/2 (vì abc = 1) => đpcm
Cho 4 số dương a, b, c, d thỏa mãn điều kiện a+c=2b và c(b+d)=2bd. CM :
Ta có: \(a+b=1\Rightarrow2\sqrt{ab}\le1\Rightarrow\sqrt{ab}\le\frac{1}{2}\Rightarrow ab\le\frac{1}{4}\)
Lại có: \(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\)
\(=a^2-ab+b^2=\left(a+b\right)^2-3ab\ge1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = \(\frac{1}{2}\)
\(\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\)
\(=\left(1+\frac{a+b}{a}\right)\left(1+\frac{a+b}{b}\right)\)
\(=\left(1+1+\frac{b}{a}\right)\left(1+1+\frac{a}{b}\right)\)
\(=\left(2+\frac{b}{a}\right)\left(2+\frac{a}{b}\right)\)
\(=4+2\frac{a}{b}+2\frac{b}{a}+1\)
\(=5+2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\)\(\ge5+2.2=9\)
c/m: \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\) với a,b dương
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b\)
\(\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\)
\(=\left(1+\frac{a+b}{a}\right)\left(1+\frac{a+b}{b}\right)\)
\(=\left(1+1+\frac{b}{a}\right)\left(1+1+\frac{a}{b}\right)\)
\(=\left(2+\frac{b}{a}\right)\left(2+\frac{a}{b}\right)\)
\(=4+2\frac{b}{a}+2\frac{a}{b}+1\)
\(=4+1+2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\)
\(=5+2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\)(1)
.Ta cần chứng minh \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
Không mất tính tổng quát, giả sử a, b \(>0\)va \(a\ge b\). \(m\ge0\). Có thể viết \(a=b+m\)
Vậy \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{b+m}{b}+\frac{b}{b+m}=1+\frac{m}{b}+\frac{b}{b+m}\ge1+\frac{m}{b+m}+\frac{b}{b+m}\)
\(=1+\frac{m+b}{b+m}=1+1=2\)
Từ đây, ta suy ra được \(\left(1\right)\ge5+2.2=9^{\left(đpcm\right)}\)
Dấu = xảy ra khi a = b (m = 0)