Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có:
\(Q=\dfrac{2002}{a}+\dfrac{2017}{b}+2996a-5501b\)
\(=\left(\dfrac{2002}{a}+8008a\right)+\left(\dfrac{2017}{b}+2017b\right)-\left(5012a+7518b\right)\)
\(=\left(\dfrac{2002}{a}+8008a\right)+\left(\dfrac{2017}{b}+2017b\right)-2506\left(2a+3b\right)\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số không âm ta có:
\(\dfrac{2002}{a}+8008a\ge2\sqrt{\dfrac{2002}{a}.8008a}=2.4004=8008\) (1)
\(\dfrac{2017}{b}+2017b\ge2\sqrt{\dfrac{2017}{b}.2017b}=2.2017=4034\) (2)
Có \(2a+3b\le4\Rightarrow-\left(2a+3b\right)\ge-4\Rightarrow-2506\left(2a+3b\right)\ge-10024\)(3)
Từ (1), (2) và (3) \(\Rightarrow Q\ge8008+4034-10024=2018\)
Dấu '=' xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2002}{a}=8008a\\\dfrac{2017}{b}=2017b\\2a+3b=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{1}{2}\\b=1\end{matrix}\right.\)
Vậy,...
Áp dụng BĐt cô-si, ta có \(\frac{2\left(a+b\right)^2}{2a+3b}\ge\frac{8ab}{2a+3b}=\frac{8}{\frac{2}{b}+\frac{3}{a}}\)
\(\frac{\left(b+2c\right)^2}{2b+c}\ge\frac{8bc}{2b+c}=\frac{8}{\frac{2}{c}+\frac{1}{b}}\)
\(\frac{\left(2c+a\right)^2}{c+2a}\ge\frac{8ac}{c+2a}\ge\frac{8}{\frac{1}{a}+\frac{2}{c}}\)
Cộng 3 cái vào, ta có
A\(\ge8\left(\frac{1}{\frac{2}{b}+\frac{3}{a}}+\frac{1}{\frac{1}{b}+\frac{2}{c}}+\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{2}{c}}\right)\ge8\left(\frac{9}{\frac{3}{b}+\frac{4}{c}+\frac{4}{a}}\right)=8.\frac{9}{3}=24\)
Vậy A min = 24
Neetkun ^^
Bạn tham khảo lời giải tại đây:
Câu hỏi của Phác Chí Mẫn - Toán lớp 9 | Học trực tuyến
Dễ dàng chứng minh được BĐT phụ: \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+ac+bc\right)\)
\(P=\dfrac{a^2}{2ab+3ac}+\dfrac{b^2}{2bc+3ab}+\dfrac{c^2}{2ac+3bc}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{5\left(ab+ac+bc\right)}\)
\(P\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{\dfrac{5}{3}.3\left(ab+ac+bc\right)}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{\dfrac{5}{3}\left(a+b+c\right)^2}=\dfrac{3}{5}\)
\(\Rightarrow P_{min}=\dfrac{3}{5}\) khi \(a=b=c\)
\(\sqrt{2a^2+ab+2b^2}=\sqrt{\frac{5}{4}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2}\ge\frac{5}{4}\left(a+b\right)\)
Tương tự cộng vế theo vế thì
\(M\ge\frac{5}{4}\left(2a+2b+2c\right)=\frac{5}{2}\left(a+b+c\right)=\frac{5}{2}\cdot2019\)
Dấu "=" xảy ra tại \(a=b=c=\frac{2019}{3}\)
bài 4 có trên mạng nha chị.tí e làm cách khác
bài 5 chị tham khảo bđt min cop ski r dùng svác là ra ạ.giờ e coi đá bóng,coi xong nghĩ tiếp ạ.
Bài làm
\(P=2a+3b+\frac{4}{a}+\frac{9}{b}=a+a+2b+b+\frac{4}{a}+\frac{9}{b}\)
\(=\left(a+2b\right)+\left(a+\frac{4}{a}\right)+\left(b+\frac{9}{b}\right)\)
\(\ge8+2\sqrt{a\times\frac{4}{a}}+2\sqrt{b\times\frac{9}{b}}\)( Cauchy )
\(=8+4+6=18\)
Đẳng thức xảy ra khi a = 2 ; b = 3
=> MinP = 18 <=> a = 2 ; b = 3
\(P=2a+3b+\frac{4}{a}+\frac{9}{b}\)
\(\Leftrightarrow P=\left(a+\frac{4}{a}\right)+\left(b+\frac{9}{b}\right)+a+2b\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(P\ge2.\sqrt{a.\frac{4}{a}}+2.\sqrt{b.\frac{9}{b}}+a+2b=2.2+2.3+a+2b\ge4+6+8=18\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=\frac{4}{a}\\b=\frac{9}{b}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=2\\b=3\end{cases}}\)
Vậy \(P_{min}=18\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=2\\b=3\end{cases}}\)
\(P=a+2b+a+\dfrac{4}{a}+b+\dfrac{9}{b}\ge8+2\sqrt{a.\dfrac{4}{a}}+2\sqrt{b.\dfrac{9}{b}}=18\)
\(\Rightarrow P_{min}=18\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=3\end{matrix}\right.\)