Question

[Nguyễn Lê Nhật Linh]

Cho a,b là các số thực thỏa mãn: \(a+b+4ab=4a^2+4b^2\)

Tính GTLN của: \(A=20\left(a^3+b^3\right)-6\left(a^2+b^2\right)+2013\)

Answer 1

[Ngu Ngu Ngu]

Giải: Ta có:

\(\frac{1}{4}\left(a+b\right)=a^2+b^2-ab\ge\left(a+b\right)^2-3\frac{\left(a+b\right)^2}{4}=\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\)

\(\Rightarrow0\le a+b\le1\)

Mặt khác: \(A\le20\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-ab\right)-6\frac{\left(a+b\right)^2}{2}+2013\)

\(\Rightarrow A\le20\left(a+b\right)\frac{a+b}{4}-3\left(a+b\right)^2+2013=2\left(a+b\right)^2+2013\le2015\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)

Vậy \(A_{max}=2015\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)

Answer 2

[Vũ Tri Hải]

Từ biểu thức A ta suy ra để A max thì a, b không âm.

Từ Giả thiết ta suy ra a + b = 4(a² - ab + b²) hay (a + b)² = 4(a³ + b³). Thế vào A ta được:

A = 5(a + b)² - 6(a² + b²) + 2013 = -(a² + b²) + 10ab + 2013 = -(a - b)² + 8ab + 2013.

Từ GT ta cũng suy ra a + b \(\ge\)4ab nên A \(\le\)-(a - b)² + 2(a + b) + 2013 \(\le\) 2013.

dấu "=" xảy ra khi a = b = 0. Vậy Max A = 2013 khi a = b = 0.