Question

[Lê Thị Hướng]

Cho a;b là các số nguyên. Chứng minh rằng |a+b|+|a − b| là số chẵn

Answer 1

[꧁V҉I҉Ê҉T҉T҉R҉Ọ҉N҉G҉M҉A҉V҉Ư҉Ơ҉N҉G҉꧂]

Lời giải:

Xét hai biểu thức \(\mid a + b \mid\) và \(\mid a - b \mid\). Ta sẽ chứng minh tổng của chúng là số chẵn trong mọi trường hợp.

Ta xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: \(a\) và \(b\) cùng chẵn hoặc cùng lẻ.

Khi đó, \(a + b\) và \(a - b\) đều là số chẵn.
Giá trị tuyệt đối của số chẵn vẫn là số chẵn.
Suy ra \(\mid a + b \mid\) và \(\mid a - b \mid\) đều chẵn.
Tổng hai số chẵn là số chẵn.
Vậy \(\mid a + b \mid + \mid a - b \mid\) là số chẵn.

Trường hợp 2: Một trong hai số là chẵn, số còn lại là lẻ.

Khi đó, \(a + b\) và \(a - b\) đều là số lẻ.
Giá trị tuyệt đối của số lẻ vẫn là số lẻ.
Tổng hai số lẻ là số chẵn.
Vậy \(\mid a + b \mid + \mid a - b \mid\) là số chẵn.

Kết luận: Dù \(a , b\) là số nguyên bất kỳ, thì \(\mid a + b \mid + \mid a - b \mid\) luôn là số chẵn.

Answer 2

[Nguyễn Phú Thành]

Ta xét các trường hợp sau:

• Trường hợp 1: \(a \geq 0\) và \(b \geq 0\). Khi đó: \(\mid a + b \mid + \mid a - b \mid = a + b + \mid a - b \mid\)
• • Nếu \(a \geq b\), thì \(\mid a + b \mid + \mid a - b \mid = a + b + a - b = 2 a\). Vì \(a\) là số nguyên, \(2 a\) là số chẵn.
  • Nếu \(a < b\), thì \(\mid a + b \mid + \mid a - b \mid = a + b + b - a = 2 b\). Vì \(b\) là số nguyên, \(2 b\) là số chẵn.
• Trường hợp 2: \(a < 0\) và \(b < 0\). Đặt \(a^{'} = - a\) và \(b^{'} = - b\), ta có \(a^{'} > 0\) và \(b^{'} > 0\). Khi đó: \(\mid a + b \mid + \mid a - b \mid = \mid - a^{'} - b^{'} \mid + \mid - a^{'} + b^{'} \mid = \mid a^{'} + b^{'} \mid + \mid b^{'} - a^{'} \mid\)
• • Nếu \(b^{'} \geq a^{'}\), thì \(\mid a^{'} + b^{'} \mid + \mid b^{'} - a^{'} \mid = a^{'} + b^{'} + b^{'} - a^{'} = 2 b^{'}\). Vì \(b^{'}\) là số nguyên dương, \(2 b^{'}\) là số chẵn.
  • Nếu \(b^{'} < a^{'}\), thì \(\mid a^{'} + b^{'} \mid + \mid b^{'} - a^{'} \mid = a^{'} + b^{'} + a^{'} - b^{'} = 2 a^{'}\). Vì \(a^{'}\) là số nguyên dương, \(2 a^{'}\) là số chẵn.
• Trường hợp 3: \(a \geq 0\) và \(b < 0\). Đặt \(b^{'} = - b\), ta có \(b^{'} > 0\). Khi đó: \(\mid a + b \mid + \mid a - b \mid = \mid a - b^{'} \mid + \mid a + b^{'} \mid\)
• • Nếu \(a \geq b^{'}\), thì \(\mid a - b^{'} \mid + \mid a + b^{'} \mid = a - b^{'} + a + b^{'} = 2 a\). Vì \(a\) là số nguyên, \(2 a\) là số chẵn.
  • Nếu \(a < b^{'}\), thì \(\mid a - b^{'} \mid + \mid a + b^{'} \mid = b^{'} - a + a + b^{'} = 2 b^{'}\). Vì \(b^{'}\) là số nguyên dương, \(2 b^{'}\) là số chẵn.
• Trường hợp 4: \(a < 0\) và \(b \geq 0\). Đặt \(a^{'} = - a\), ta có \(a^{'} > 0\). Khi đó: \(\mid a + b \mid + \mid a - b \mid = \mid - a^{'} + b \mid + \mid - a^{'} - b \mid = \mid b - a^{'} \mid + \mid a^{'} + b \mid\)
• • Nếu \(b \geq a^{'}\), thì \(\mid b - a^{'} \mid + \mid a^{'} + b \mid = b - a^{'} + a^{'} + b = 2 b\). Vì \(b\) là số nguyên, \(2 b\) là số chẵn.
  • Nếu \(b < a^{'}\), thì \(\mid b - a^{'} \mid + \mid a^{'} + b \mid = a^{'} - b + a^{'} + b = 2 a^{'}\). Vì \(a^{'}\) là số nguyên dương, \(2 a^{'}\) là số chẵn.

Vậy trong mọi trường hợp, |a+b| + |a-b| luôn là số chẵn.