Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Cosi + Svac-xơ
Có : \(3=a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)\(\Leftrightarrow\)\(a+b+c\le3\)
\(\frac{1}{4-\sqrt{ab}}+\frac{1}{4-\sqrt{bc}}+\frac{1}{4-\sqrt{ca}}\le\frac{1}{4-\frac{a+b}{2}}+\frac{1}{4-\frac{b+c}{2}}+\frac{1}{4-\frac{c+a}{2}}\)
\(=-\left(\frac{1}{\frac{a+b}{2}-4}+\frac{1}{\frac{b+c}{2}-4}+\frac{1}{\frac{c+a}{2}-4}\right)\le\frac{-\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c-12}=\frac{-9}{3-12}=1\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c=1\)
Ta có:\(a^5+ab+b^2\ge3a^2b\)
Tương tự ta có:
\(VT\le\frac{1}{\sqrt{3ab\left(a+2c\right)}}+\frac{1}{\sqrt{3bc\left(b+2a\right)}}+\frac{1}{\sqrt{3ca\left(c+2b\right)}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\sqrt{\frac{c}{c+2a}}+\sqrt{\frac{a}{b+2a}}+\sqrt{\frac{b}{2b+c}}\right)\)
Ta cũng có:\(a+2c=a+c+c\ge\frac{1}{3}\left(\sqrt{a}+2\sqrt{c}\right)^2\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{a}+2\sqrt{c}}+\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}+2\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{c}+2\sqrt{b}}\)
Đặt \(x=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{c}};y=\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}};z=\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{b}};xyz=1\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{x+2}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+2}\)
Giả sử \(xy\le1\) thì \(z\ge1\)
Ta có: \(\frac{1}{x+2}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+2}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\frac{x}{2}+1}+\frac{1}{\frac{y}{2}+1}\right)+\frac{1}{z+2}\)
\(\le\frac{1}{1\frac{\sqrt{xy}}{2}}+\frac{1}{z+2}\le1\)(Đpcm)
Dấu = khi \(a=b=c=1\)
Ha ~! Vẫn còn sót bài này
\(BDT\Leftrightarrow\frac{1-a}{1+a}+\frac{1-b}{1+b}+2\sqrt{\frac{\left(1-a\right)\left(1-b\right)}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}}\)
\(\le\frac{1-a-b}{1+a+b}+1+2\sqrt{\frac{1-a-b}{1+a+b}}\)
Và \(\frac{2\left(1-ab\right)}{1+ab+a+b}+2\sqrt{\frac{1+ab-a-b}{1+ab+a+b}}\)\(\le\frac{2}{1+a+b}+2\sqrt{\frac{1-a-b}{1+a+b}}\)
Đặt \(\hept{\begin{cases}u=ab\\v=a+b\end{cases}\left(u,v\ge0\right)}\) khi đó cần c/m:
\(\frac{2\left(1-u\right)}{1+u+v}+2\sqrt{\frac{1+u-v}{1+u+v}}\le\frac{2}{1+v}+2\sqrt{\frac{1-v}{1+v}}\)
Biến đổi tương đương ta có:
\(\frac{1+u-v}{1+u+v}-\frac{1-v}{1+v}\le\frac{u\left(2+v\right)}{\left(1+v\right)\left(1+u+v\right)}\left(\sqrt{\frac{1+u-v}{1+u+v}}+\sqrt{\frac{1-v}{1+v}}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{2uv}{\left(1+u+v\right)\left(1+v\right)}\le\frac{u\left(2+v\right)}{\left(1+v\right)\left(1+u+v\right)}\left(\sqrt{\frac{1+u-v}{1+u+v}}+\sqrt{\frac{1-v}{1+v}}\right)\)
Nếu \(u=0\) BĐT hiển nhiên đúng. Với \(u>0\) BĐT tương đương với:
\(\frac{2v}{2+v}\le\sqrt{\frac{1+u-v}{1+u+v}}+\sqrt{\frac{1-v}{1+v}}\left(1\right)\)
Mà khi \(u>0\) ta có: \(\frac{1+u-v}{1+u+v}\ge\frac{1-v}{1+v}\)
Nên \(\sqrt{\frac{1+u-v}{1+u+v}}+\sqrt{\frac{1-v}{1+v}}\ge2\sqrt{\frac{1-v}{1+v}}=2\sqrt{-1+\frac{2}{1+v}}\)
Hơn nữa ta có: \(v\le\frac{4}{5}\Rightarrow\sqrt{\frac{1+u-v}{1+u+v}}+\sqrt{\frac{1-v}{1+v}}\ge2\sqrt{-1+\frac{2}{1+\frac{4}{5}}}=\frac{2}{3}\)
Ngoài ra do \(v\le\frac{4}{5}< 1\Rightarrow\frac{2v}{1+v}=\frac{2}{\frac{2}{v}+1}< \frac{2}{3}\)
Do vậy \(\left(1\right)\) đúng, BĐT đầu được c/m