Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Em mới tìm được Min thôi ạ, Max =\(2\sqrt{2}+4\)nhưng chưa biết cách giải , mọi người giúp với ạ
áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 3 số ta có:
\(a^3+b^3+1\ge3\sqrt[3]{a^3b^3.1}=3ab\)
\(\Rightarrow M=\frac{a^3+b^3+4}{ab+1}=\frac{\left(a^3+b^3+1\right)+3}{ab+1}\ge\frac{3ab+3}{ab+1}=3\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của M=3 khi \(\hept{\begin{cases}a^2+b^2=2\\a^3=b^3=1\end{cases}\Rightarrow}a=b=1\)
\(0\le a\le\sqrt{2}\Rightarrow a\left(a-\sqrt{2}\right)\le0\Rightarrow a^2\le a\sqrt{2}\Rightarrow a^3\le a^2\sqrt{2}\)
Tương tự và cộng lại: \(a^3+b^3\le\sqrt{2}\left(a^2+b^2\right)=2\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow M\le\frac{2\sqrt{2}+4}{ab+1}\le\frac{2\sqrt{2}+4}{1}=2\sqrt{2}+4\) (do \(ab\ge0\Rightarrow ab+1\ge1\))
Dấu "=" khi \(\left(a;b\right)=\left(0;\sqrt{2}\right);\left(\sqrt{2};0\right)\)
\(P=\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\)
áp dụng bunhia - cốpxki
\(P^2=\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\right)^2\le\left(1+1+1\right)\left(a+b+b+c+c+a\right)\)
\(=6\left(a+b+c\right)\)
\(=6.2021=12126< =>P=\sqrt{12126}\)
vậy MAX P=\(\sqrt{12126}\)
\(P=\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\)
\(\Rightarrow P^2=\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\right)^2\)
Áp dụng BĐT Bunyakovsky ta có:
\(P^2\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(a+b+b+c+c+a\right)=6\left(a+b+c\right)=6\cdot2021\)
\(\Rightarrow P\le\sqrt{6\cdot2021}=\sqrt{12126}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c=\frac{2021}{3}\)
Vậy \(Max\left(P\right)=\sqrt{12126}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{2021}{3}\)
Bài 4: Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có: \(P=\text{}\Sigma_{cyc}a\sqrt{b^3+1}=\Sigma_{cyc}a\sqrt{\left(b+1\right)\left(b^2-b+1\right)}\le\Sigma_{cyc}a.\frac{\left(b+1\right)+\left(b^2-b+1\right)}{2}=\Sigma_{cyc}\frac{ab^2+2a}{2}=\frac{1}{2}\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)+3\)Giả sử b là số nằm giữa a và c thì \(\left(b-a\right)\left(b-c\right)\le0\Rightarrow b^2+ac\le ab+bc\)\(\Leftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2\le a^2b+abc+bc^2\le a^2b+2abc+bc^2=b\left(a+c\right)^2=b\left(3-b\right)^2\)
Ta sẽ chứng minh: \(b\left(3-b\right)^2\le4\)(*)
Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\left(b-4\right)\left(b-1\right)^2\le0\)(đúng với mọi \(b\in[0;3]\))
Từ đó suy ra \(\frac{1}{2}\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)+3\le\frac{1}{2}.4+3=5\)
Đẳng thức xảy ra khi a = 2; b = 1; c = 0 và các hoán vị
Bài 1: Đặt \(a=xc,b=yc\left(x,y>0\right)\)thì điều kiện giả thiết trở thành \(\left(x+1\right)\left(y+1\right)=4\)
Khi đó \(P=\frac{x}{y+3}+\frac{y}{x+3}+\frac{xy}{x+y}=\frac{x^2+y^2+3\left(x+y\right)}{xy+3\left(x+y\right)+9}+\frac{xy}{x+y}\)\(=\frac{\left(x+y\right)^2+3\left(x+y\right)-2xy}{xy+3\left(x+y\right)+9}+\frac{xy}{x+y}\)
Có: \(\left(x+1\right)\left(y+1\right)=4\Rightarrow xy=3-\left(x+y\right)\)
Đặt \(t=x+y\left(0< t< 3\right)\Rightarrow xy=3-t\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{t^2}{4}\Rightarrow t\ge2\)(do t > 0)
Lúc đó \(P=\frac{t^2+3t-2\left(3-t\right)}{3-t+3t+9}+\frac{3-t}{t}=\frac{t}{2}+\frac{3}{t}-\frac{3}{2}\ge2\sqrt{\frac{t}{2}.\frac{3}{t}}-\frac{3}{2}=\sqrt{6}-\frac{3}{2}\)với \(2\le t< 3\)
Vậy \(MinP=\sqrt{6}-\frac{3}{2}\)đạt được khi \(t=\sqrt{6}\)hay (x; y) là nghiệm của hệ \(\hept{\begin{cases}x+y=\sqrt{6}\\xy=3-\sqrt{6}\end{cases}}\)
Ta lại có \(P=\frac{t^2-3t+6}{2t}=\frac{\left(t-2\right)\left(t-3\right)}{2t}+1\le1\)(do \(2\le t< 3\))
Vậy \(MaxP=1\)đạt được khi t = 2 hay x = y = 1
Cho $a, b \geq 0$ thỏa mãn $a + b + 2ab = 4$.
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:
$$
P = a^3 + b^3
$$
---
### Bước 1: Phân tích điều kiện
Điều kiện cho $a,b \geq 0$:
$$
a + b + 2ab = 4
$$
---
### Bước 2: Sử dụng biến mới
Đặt $S = a + b$, $P = ab$ (lưu ý, P ở đây khác biểu thức cần tìm, ta tạm dùng $Q = ab$ để tránh nhầm lẫn).
Điều kiện:
$$
S + 2Q = 4 \implies Q = \frac{4 - S}{2}
$$
---
### Bước 3: Viết $a^3 + b^3$ theo $S, Q$
Ta có công thức:
$$
a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b) = S^3 - 3Q S
$$
Thay $Q = \frac{4 - S}{2}$:
$$
a^3 + b^3 = S^3 - 3 \cdot \frac{4 - S}{2} \cdot S = S^3 - \frac{3S(4 - S)}{2} = S^3 - \frac{12S - 3S^2}{2}
$$
$$
= S^3 - 6S + \frac{3S^2}{2} = S^3 + \frac{3}{2}S^2 - 6S
$$
---
### Bước 4: Xác định miền giá trị của $S$
Vì $a,b \geq 0$, với $a,b$ là nghiệm của phương trình
$$
x^2 - Sx + Q = 0 \implies x^2 - Sx + \frac{4 - S}{2} = 0
$$
Phương trình có nghiệm thực không âm khi:
* $\Delta = S^2 - 4Q \geq 0$
* $a,b \geq 0$
Tính $\Delta$:
$$
\Delta = S^2 - 4 \cdot \frac{4 - S}{2} = S^2 - 2(4 - S) = S^2 - 8 + 2S = S^2 + 2S - 8
$$
Điều kiện $\Delta \geq 0$:
$$
S^2 + 2S - 8 \geq 0 \implies (S+4)(S-2) \geq 0
$$
Vì $a,b \geq 0 \implies S = a + b \geq 0$, nên ta lấy:
$$
S \geq 2
$$
Ngoài ra, $S$ còn phải thỏa điều kiện $Q = \frac{4-S}{2} \geq 0$ (vì $Q = ab \geq 0$):
$$
\frac{4 - S}{2} \geq 0 \implies S \leq 4
$$
---
### Vậy miền $S$ là:
$$
2 \leq S \leq 4
$$
---
### Bước 5: Tìm cực trị của $P(S) = S^3 + \frac{3}{2} S^2 - 6S$ trên đoạn $[2,4]$
Tính đạo hàm:
$$
P'(S) = 3S^2 + 3S - 6 = 3(S^2 + S - 2) = 3(S+2)(S-1)
$$
* $P'(S) = 0$ tại $S = -2$ (loại vì ngoài miền) và $S = 1$ (cũng ngoài miền).
Với $S \in [2,4]$, đạo hàm luôn dương vì:
* $S-1 > 0$
* $S+2 > 0$
Vậy $P(S)$ là hàm đồng biến trên $[2,4]$.
---
### Bước 6: Tính $P$ tại các điểm biên
* Tại $S=2$:
$$
P(2) = 2^3 + \frac{3}{2} \cdot 2^2 - 6 \cdot 2 = 8 + \frac{3}{2} \cdot 4 - 12 = 8 + 6 - 12 = 2
$$
* Tại $S=4$:
$$
P(4) = 4^3 + \frac{3}{2} \cdot 4^2 - 6 \cdot 4 = 64 + \frac{3}{2} \cdot 16 - 24 = 64 + 24 - 24 = 64
$$
---
### Bước 7: Kết luận
* Giá trị nhỏ nhất của $a^3 + b^3$ là $2$, đạt khi $S = 2$.
* Giá trị lớn nhất của $a^3 + b^3$ là $64$, đạt khi $S = 4$.
---
### Bước 8: Tìm cặp $(a,b)$ tương ứng
* Với $S=2$, $Q = \frac{4 - 2}{2} = 1$, phương trình:
$$
x^2 - 2x + 1 = 0 \implies (x-1)^2 = 0
$$
Vậy $a = b = 1$.
Giá trị nhỏ nhất $P = 1^3 + 1^3 = 2$.
* Với $S=4$, $Q = \frac{4 - 4}{2} = 0$, phương trình:
$$
x^2 - 4x + 0 = 0 \implies x(x - 4) = 0
$$
Vậy $a=0, b=4$ hoặc ngược lại.
Giá trị lớn nhất $P = 0^3 + 4^3 = 64$.
---
## **Kết quả:**
$$
\boxed{
\begin{cases}
\text{Giá trị nhỏ nhất của } a^3 + b^3 = 2, \text{ khi } a = b = 1 \\
\text{Giá trị lớn nhất của } a^3 + b^3 = 64, \text{ khi } (a,b) = (0,4) \text{ hoặc } (4,0)
\end{cases}
}
$$
Tham khảo