PT
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NT
2
3 tháng 1 2017
\(3a^3+7b^3\ge3a^3+6b^3\)
\(=3a^3+3b^3+3b^3\)
\(\ge3\sqrt[3]{3.a^3.3.b^3.3.b^3}=9ab^2\)
Dấu = xảy ra khi a = b = 0
3 tháng 1 2017
\(3a^3+\frac{7}{2}b^3+\frac{7}{2}b^3\ge3\sqrt[3]{3a^3.\frac{7}{2}b^3.\frac{7}{2}b^3}=ab^2.3\sqrt[3]{\frac{147}{4}}>9ab^2\)
LT
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
22 tháng 2 2018
Lời giải:
Áp dụng BDDT AM-GM ta có:
\(a^3+b^3+b^3\geq 3\sqrt[3]{a^3b^6}\)
\(\Rightarrow 3(a^3+2b^3)\geq 9ab^2\)
Vì \(b\geq 0\Rightarrow b^3\geq 0\Rightarrow b^3+3(a^3+2b^3)\ge 3(a^3+2b^3)\geq 9ab^2\)
hay \(3a^3+7b^3\geq 9ab^2\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} a^3=b^3\\ b^3=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=0\)
NP
1
8 tháng 7 2019
Bài này có nhiều cách, làm cách ngắn gọn, phổ thông nhé:
Với \(a,b\ge0\)Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số không âm ta có:
\(1+a+b\ge3\sqrt[3]{1.a.b}=3\sqrt[3]{ab}\)
\(a+b+ab\ge3\sqrt[3]{a.b.ab}=3\sqrt[3]{a^2b^2}\)
\(\Rightarrow\left(1+a+b\right)\left(a+b+ab\right)\ge3\sqrt[3]{ab}.3\sqrt[3]{a^2b^2}=9ab\)
Dấu '=' xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a=b=1\\a=b=ab\end{cases}\Leftrightarrow a=b=1}\)
(p/s đừng ti ck cho câu trả lời này nhé)
TL
29 tháng 9 2018
Trả lời:
a. Áp dụng BĐT Cô-si: x + y\(\ge\) \(2\sqrt{xy}\) (với x,y\(\ge\)0)
Ta có: a + b\(\ge\)\(2\sqrt{ab}\)
b+c\(\ge\)\(2\sqrt{bc}\)
c+a\(\ge\)\(2\sqrt{ca}\)
\(\Rightarrow\) (a+b)(b+c)(c+a) \(\ge\)\(8\sqrt{a^2b^2c^2}\)= 8abc (đpcm)
b. Áp dụng BĐT Cô-si: \(\sqrt{ab}\)\(\le\)\(\dfrac{a+b}{2}\) ( với a,b\(\ge\)0)
Ta có: \(\sqrt{3a\left(a+2b\right)}\)\(\le\)\(\dfrac{3a+a+2b}{2}\)=\(\dfrac{4a+2b}{2}\)=2a+b
\(\Rightarrow\) \(a\sqrt{3a\left(a+2b\right)}\)\(\le\)a(2a+b) = 2a2+ab
CMTT: \(b\sqrt{3b\left(b+2a\right)}\)\(\le\)b(2b+a) = 2b2+ab
\(\rightarrow\)\(a\sqrt{3a\left(a+2b\right)}\)+\(b\sqrt{3b\left(2b+a\right)}\)\(\le\) 2a2+ab+2b2+ab
= 2(a2+b2)+2ab =6(đpcm)
c. Áp dụng BĐT Cô-si với 3 số a+b; b+c;c+a
Ta có: (a+b)(b+c)(c+a)\(\le\)\(\left(\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{3}\right)^3\)
\(\Leftrightarrow\) 1 \(\le\) \(\dfrac{8}{27}\left(a+b+c\right)^3\)
\(\Leftrightarrow\) (a+b+c)3 \(\ge\) \(\dfrac{8}{27}\)
\(\Leftrightarrow\) a+b+c \(\ge\) \(\dfrac{3}{2}\) (1)
Lại có: (a+b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)(ab+bc+ca) -abc
\(\Leftrightarrow\) 1= (a+b+c)(ab+bc+ca) - abc
\(\Leftrightarrow\) ab+bc+ca = \(\dfrac{1+abc}{a+b+c}\) (2)
Theo câu a. (a+b)(b+c)(c+a) \(\ge\) 8abc
\(\Leftrightarrow\) 1 \(\ge\) 8abc
\(\Leftrightarrow\) abc \(\le\)\(\dfrac{1}{8}\) (3)
Từ (1),(3) kết hợp với (2)
\(\Rightarrow\) ab+bc+ca \(\le\) \(\dfrac{1+\dfrac{1}{8}}{\dfrac{3}{2}}\) = \(\dfrac{3}{4}\) (đpcm)
NB
2
29 tháng 7 2017
Sửa đề:
\(3a^3+6b^3=a^3+a^3+a^3+b^3+b^3+b^3+b^3+b^3+b^3\)
\(\ge9\sqrt[9]{a^3.a^3.a^3.b^3.b^3.b^3.b^3.b^3.b^3}=9\sqrt[9]{a^9.b^{18}}=9ab^2\)
15 tháng 12 2018
Theo cách lớp 8 :vvv
Câu a : \(\dfrac{a^2+b^2}{2}\ge\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow4a^2+4b^2\ge2a^2+2b^2+4ab\)
\(\Leftrightarrow2\left(a-b\right)^2\ge0\) ( Đúng )
Dấu \("="\)xảy ra khi \(a=b\)
Câu b : \(\dfrac{a^3+b^3}{2}\ge\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^3\)
\(\Leftrightarrow8a^3+8b^3\ge2a^3+2b^3+6a^2b+6ab^2\)
\(\Leftrightarrow6a^3-6a^2b+6b^3-6b^2a\ge0\)
\(\Leftrightarrow6a^2\left(a-b\right)-6b^2\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow6\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\) ( Đúng )
Dấu \("="\) xảy ra khi \(\left[{}\begin{matrix}a=b\\a=-b\end{matrix}\right.\)
LT
1
I
29 tháng 3 2020
ta có \(a\ge b\ge c\)
zì \(c\le b\)nên \(\left(a+b+c\right)^2\le\left(a+2b\right)^2\)
do zậy ta chỉ cần chứng minh \(9ab\ge\left(a+2b\right)^2\)
tương đương zới \(a^2-5ab+4b^2\le0\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a-4b\right)\le0\)
zì \(a\ge b\)zà theo bất đẳng thức tam giác có \(a< b+c\le2b\le4b\)nên điều trên luôn đúng
zậy bất đẳng thức đc CM . dấu "=" xảy ra khi zà chỉ khi a=b=c hay tam giác ABC đều
T
10 tháng 7 2019
Bài 1: Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương:
\(VT\ge3\sqrt[3]{\frac{\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(a+b\right)}{abc}}\ge3\sqrt[3]{\frac{8abc}{abc}}=6\) (đpcm)
Giải phần dấu "=" ra ta được a = b =c
Bài 2: Đặt \(a+b=x;b+c=y;c+a=z\)
Suy ra \(a=\frac{x-y+z}{2};b=\frac{x+y-z}{2};c=\frac{y+z-x}{2}\)
Suy ra cần chứng minh \(\frac{x-y+z}{2y}+\frac{x+y-z}{2z}+\frac{y+z-x}{2x}\ge\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+z}{2y}+\frac{x+y}{2z}+\frac{y+z}{2x}\ge3\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+z}{y}+\frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}\ge6\)
Bài toán đúng theo kết quả câu 1.
Ta có:
\(3a^3+7b^3\ge3a^3+6b^3\)
Dấu "=" xảy ra <=> b=0
Mặt khác :
\(3a^3+6b^3=3a^3+3b^3+3b^3\ge9ab^2\)(Theo bđt Cô-si)
=> đpcm
Mih ko chắc đug nhưg mà thấy avatar để hih chị hương là vào liền
Kb nha (Fan ECADCA)
oki bạn