Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a. Do \(a>0,\) \(b>0\) \(\Rightarrow a,b\) là số dương
Ta có:
* \(a< b\Leftrightarrow a^2< ab\) (nhân cả hai vế với a)
* \(a< b\Leftrightarrow ab< b^2\) (nhân cả hai vế với b)
b. Từ câu a theo tính chất bắc cầu suy ra:\(a^2< b^2\)
Ta có: \(a^2< b^2\Leftrightarrow a^3< ab^2\) (nhân cả hai vế với a)
mà ab2<b3 (a<b)
\(\Rightarrow a^3< b^3\)
a)Do bd>0 (do b>0, d>0) nên nếu \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\) thì ad<bc
b)Ngược lại, nếu ad<bc thì \(\frac{ad}{bd}< \frac{bc}{bd}\Leftrightarrow\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\)
a: 3x+2>8
nên 3x>6
hay x>2
b: 4x-5<7
nên 4x<12
hay x<3
c: -2x+1<7
nên -2x<6
hay x>-3
d: -3x+13>-2
=>-3x>-15
hay x<5
Bài 1:
Áp dụng BĐt cauchy dạng phân thức:
\(\dfrac{1}{2x+y}+\dfrac{1}{x+2y}\ge\dfrac{4}{3\left(x+y\right)}\)
\(\Rightarrow\left(3x+3y\right)\left(\dfrac{1}{2x+y}+\dfrac{1}{x+2y}\right)\ge\left(3x+3y\right).\dfrac{4}{3x+3y}=4\)
dấu = xảy ra khi 2x+y=x+2y <=> x=y
Bài 2:
ta có: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}\ge\dfrac{4^2}{a+b+c+d}=\dfrac{16}{a+b+c+d}\)(theo BĐt cauchy-schwarz)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a+b+c+d}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}\right)\)
Áp dụng BĐT trên vào bài toán ta có:
\(A=\dfrac{1}{2a+b+c}+\dfrac{1}{a+2b+c}+\dfrac{1}{a+b+2c}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{2}{c}\right)\)\(A\le\dfrac{1}{16}.4\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)
......
dấu = xảy ra khi a=b=c
Bài 2:
Áp dụng BĐT cauchy cho 2 số dương:
\(a^2+1\ge2a\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{a^2+1}\le\dfrac{a}{2a}=\dfrac{1}{2}\)
thiết lập tương tự:\(\dfrac{b}{b^2+1}\le\dfrac{1}{2};\dfrac{c}{c^2+1}\le\dfrac{1}{2}\)
cả 2 vế các BĐT đều dương ,cộng vế với vế,ta có dpcm
dấu = xảy ra khi a=b=c=1
a. Ta có: a > b ⇔ 3a > 3b ⇔ 3a + 5 > 3b + 5 (1)
Mặt khác: 3b + 5 > 3b + 2 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: 3a + 5 > 3b + 2
b. Ta có: a > b ⇔ -4a < -4b ⇔ 3 – 4a < 3 – 4b (1)
Mặt khác: 2 – 4a < 3 – 4a (2)
Từ (1) và (2) suy ra: 2 – 4a < 3 – 4b
a. Ta có: a > b ⇔ 3a > 3b ⇔ 3a + 5 > 3b + 5 (1)
Mặt khác: 3b + 5 > 3b + 2 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: 3a + 5 > 3b + 2
b. Ta có: a > b ⇔ -4a < -4b ⇔ 3 – 4a < 3 – 4b (1)
Mặt khác: 2 – 4a < 3 – 4a (2)
Từ (1) và (2) suy ra: 2 – 4a < 3 – 4b
Số \(ab>0\), nên \(\dfrac{1}{ab}>0\). Từ \(a>b\), nhân cả hai vế của bất đẳng thức với số \(\dfrac{1}{ab}\), có bất đẳng thức \(\dfrac{1}{a}< \dfrac{1}{b}\)
\(\Rightarrow a^7\left(a-b\right)+b^7\left(b-a\right)>=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^7-b^7\right)>=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\cdot A>=0\), với A>=0
=>Điều này luôn đúng
a, Áp dụng bđt Cauchy ta có
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}=2\)
b, a(a+2)<(a+1)2
=>a2+2a<a2+2a+1(đúng)
a.Ta có: a>b
\(\Leftrightarrow7a>7b\)
\(\Leftrightarrow7a-7>7b-7\)
b.Ta có: a>b
\(\Leftrightarrow-a< -b\) ( đổi chiều BĐT )
\(\Leftrightarrow-a+8< -b+8\)