Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(\frac{a^2+b^2}{\left(4a+3b\right)\left(3a+4b\right)}\ge\frac{1}{25}\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2}{\left(4a+3b\right)\left(3a+4b\right)}-\frac{1}{25}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{25a^2+25b^2-12a^2-25ab-12b^2}{25\left(4a+3b\right)\left(3a+4b\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{13a^2-25ab+13b^2}{25\left(4a+3b\right)\left(3a+4b\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{13\left(a^2-2.\frac{25}{26}ab+\frac{625}{676}b^2\right)+\frac{51}{52}b^2}{25\left(4a+3b\right)\left(3a+4b\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{13\left(a-\frac{25}{26}b\right)^2+\frac{51}{52}b^2}{25\left(4a+3b\right)\left(3a+4b\right)}\ge0\)
Do a, b > 0 nên cả tử và mẫu của phân thức bên vế trái đều lớn hơn 0.
Vậy bất đẳng thức cuối là đúng hay \(\frac{a^2+b^2}{\left(4a+3b\right)\left(3a+4b\right)}\ge\frac{1}{25}\forall a,b>0;a\ne-\frac{3b}{4};b\ne-\frac{4b}{3}\)
17) \(\frac{10x^2-7x-5}{2x-3}\) là số nguyên khi 10x² - 7x - 5 \(⋮\) 2x - 3
Ta có: 10x² - 7x - 5 = 10x² - 15x + 8x - 12 + 7 = 5x(2x-3) + 4(2x-3) + 7
\(\Rightarrow\) 10x² - 7x - 5 \(⋮\) 2x - 3 khi và chỉ khi 7 chia hết cho 2x-3
\(\Rightarrow\) 2x - 3 \(\in\) Ư(7) \(\Leftrightarrow\) 2x - 3 = \(\left\{-1;1;-7;7\right\}\)
TH1: 2x-3 = -1 <=> x = 1
TH2: 2x-3 = 1 <=> x = 2
TH3: 2x-3 = -7 <=> x = -2
TH4: 2x-3 = 7 <=> x = 5
Vây có 4 giá trị nguyên của x là \(\left\{-2;1;2;5\right\}\)
23) Cm rằng
a) a2+b2−2ab ≥0
Ta có: a2+b2−2ab = a2−2ab+b2 = (a - b)2 ≥ 0 (đpcm)
b)\(\frac{a^2+b^2}{2}\) ≥ ab
Ta có: (a-b)2 ≥0 vs mọi a,b
\(\Leftrightarrow\) a2−2ab+b2 ≥0
\(\Leftrightarrow\) a2+b2 ≥ 2ab
\(\Leftrightarrow\) \(\frac{a^2+b^2}{2}\) ≥ ab (đpcm)
c) a(a+2)<(a+1)2
Ta có: a(a+2)= a2+2a
(a+1)2 = a2 + 2a + 1
\(\Rightarrow\) a(a+2)<(a+1)2 (đpcm)
d) m2+n2+2 ≥ 2(m+n)
Ta có: (m-n)2 \(\ge\) 0
\(\Leftrightarrow\) m2- 2mn+n2 \(\ge\) 0
\(\Leftrightarrow\) m2+n2 \(\ge\) 2mn
\(\Leftrightarrow\) m2+n2+2 \(\ge\) 2mn+2
\(\Leftrightarrow\) m2+n2+2 ≥ 2(m+n) (đpcm)
e) (a+b)(\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\))≥4 (với a>0, b>0)
Ta có: (a - b)2 ≥ 0
\(\Leftrightarrow\) a2−2ab+b2 ≥ 0
\(\Leftrightarrow\) a2+2ab - 4ab+b2 ≥ 0
\(\Leftrightarrow\) (a + b)2 - 4ab≥ 0
\(\Leftrightarrow\) (a + b)2 ≥ 4ab
\(\Leftrightarrow\) \(\frac{\left(a+b\right)^2}{ab}\) ≥ 4
\(\Leftrightarrow\) (a+b) ( \(\frac{a+b}{ab}\) ) ≥ 4
\(\Leftrightarrow\) (a+b)(\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\))≥4 (vs a,b > 0) (đpcm)
Bài 3:
\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{3}{10}\)
=>3a=10b
=>\(a=\dfrac{10b}{3}\)
Do đó:\(B=\dfrac{4a\left(4a-10b\right)}{4a\left(2a-6b\right)}=\dfrac{a+3a-10b}{\dfrac{2.10b-18b}{3}}=\dfrac{a}{\dfrac{2}{3}b}=\dfrac{3a}{2b}\)
\(=\dfrac{\dfrac{3.10b}{3}}{2b}=\dfrac{10b}{2b}=5\)
bài 3 : a, cho \(3a^2+3b^2=10ab\) và b>a>0. tính gt biểu thức A= \(\dfrac{a-b}{a+b}\)
\(3a^2+3b^2=10ab\)
\(\Rightarrow3a^2-10ab+3b^2=0\)
\(\Rightarrow3a^2-9ab-ab+3b^2=0\)
\(\Rightarrow\left(3a^2-9ab\right)-\left(ab-3b^2\right)=0\)
\(\Rightarrow3a\left(a-3b\right)-b\left(a-3b\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(a-3b\right)\left(3a-b\right)=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a-3b=0\\3a-b=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=3b\left(loai\right)\\a=\dfrac{b}{3}\end{matrix}\right.\)
a= 3b loại vì b > a > 0
Thay \(a=\dfrac{b}{3}\) vào biểu thức A ,có :
\(\dfrac{\dfrac{b}{3}-b}{\dfrac{b}{3}+b}=\dfrac{\dfrac{b-3b}{3}}{\dfrac{b+3b}{3}}=\dfrac{b-3b}{3}.\dfrac{3}{b+3b}=\dfrac{-2b}{4b}=-\dfrac{1}{2}\)
Vậy A =-1/2
b, tương tự tìm a theo b rồi thay vào biểu thức
Nếu bn ko lm đc thì bảo mk nha
a. Do \(a>0,\) \(b>0\) \(\Rightarrow a,b\) là số dương
Ta có:
* \(a< b\Leftrightarrow a^2< ab\) (nhân cả hai vế với a)
* \(a< b\Leftrightarrow ab< b^2\) (nhân cả hai vế với b)
b. Từ câu a theo tính chất bắc cầu suy ra:\(a^2< b^2\)
Ta có: \(a^2< b^2\Leftrightarrow a^3< ab^2\) (nhân cả hai vế với a)
mà ab2<b3 (a<b)
\(\Rightarrow a^3< b^3\)
a, \(a^4+b^4-a^3b-ab^3=a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\)
\(=\left(a-b\right)\left(a^3-b^3\right)=\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\)
Mà \(\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)^2\ge0\forall a;b\\a^2+ab+b^2=\left(a+\frac{1}{2}b\right)^2+\frac{3}{4}b^2\ge0\forall a;b\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)
\(\Rightarrow a^4+b^4-a^3b-ab^3\ge0\Leftrightarrow a^4+b^4\ge a^3b+ab^3\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b
b, \(a^3-3a^2+4a+1=a\left(a^2-4a+4\right)+a^2+1=a\left(a-2\right)^2+a^2+1>0\left(\forall a>0\right)\)
c, \(a^4+b^2+2-4ab=\left(a^4-2a^2b^2+b^4\right)+\left(2a^2b^2-4ab+2\right)\)
\(=\left(a^2-b^2\right)^2+2\left(ab-1\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow a^4+b^4+2\ge4ab\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\orbr{\begin{cases}a=b=1\\a=b=-1\end{cases}}\)
\(a^3+a^3+b^3\ge3\sqrt[3]{a^6b^3}=3a^2b\)
\(b^3+b^3+c^3\ge3\sqrt[3]{b^6c^3}=3b^2c\)
\(c^3+c^3+a^3\ge3\sqrt[3]{c^6a^3}=3c^2a\)
Cộng vế theo vế có ngay điều phải chứng minh
a) Xét : \(P^2=\frac{3\left(a-b\right)^2}{3\left(a+b\right)^2}=\frac{3\left(a^2+b^2\right)-6ab}{3\left(a^2+b^2\right)+6ab}=\frac{10ab-6ab}{10ab+6ab}=\frac{4ab}{16ab}=\frac{1}{4}\)
Vì a > b > 0 nên P > 0 . Vậy \(P=\frac{1}{2}\)
b) Tương tự.
a/ \(3a^2+3b^2=10ab\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2\right)=10ab\Leftrightarrow a^2+b^2=\frac{10ab}{3}\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2-2ab=\frac{10ab}{3}-2ab\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2=\frac{4ab}{3}\)
tương tự: \(a^2+b^2=\frac{10ab}{3}\Leftrightarrow a^2+b^2+2ab=\frac{10ab}{3}+2ab\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2=\frac{16ab}{3}\)
\(\Rightarrow P^2=\left(\frac{a-b}{a+b}\right)^2=\frac{\frac{4ab}{3}}{\frac{16ab}{3}}=\frac{1}{4}\Rightarrow P=\frac{1}{2}\)
a. Ta có: a > b ⇔ 3a > 3b ⇔ 3a + 5 > 3b + 5 (1)
Mặt khác: 3b + 5 > 3b + 2 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: 3a + 5 > 3b + 2
b. Ta có: a > b ⇔ -4a < -4b ⇔ 3 – 4a < 3 – 4b (1)
Mặt khác: 2 – 4a < 3 – 4a (2)
Từ (1) và (2) suy ra: 2 – 4a < 3 – 4b
a. Ta có: a > b ⇔ 3a > 3b ⇔ 3a + 5 > 3b + 5 (1)
Mặt khác: 3b + 5 > 3b + 2 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: 3a + 5 > 3b + 2
b. Ta có: a > b ⇔ -4a < -4b ⇔ 3 – 4a < 3 – 4b (1)
Mặt khác: 2 – 4a < 3 – 4a (2)
Từ (1) và (2) suy ra: 2 – 4a < 3 – 4b