Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 1:Thêm đk a > b > 0
\(VT=a+\frac{1}{b\left(a-b\right)}=\left(a-b\right)+b+\frac{1}{b\left(a-b\right)}\)
Áp dụng BĐT Cô si cho 3 số dương ta có đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi \(a-b=b=\frac{1}{b\left(a-b\right)}\Leftrightarrow a=2;b=1\)
Bài 2: BĐT \(\Leftrightarrow\left(a-b\right)+\left(b+1\right)+\frac{4}{\left(a-b\right)\left(b+1\right)^2}\ge4\) (Thêm 1 vào hai vế +bớt + thêm b)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)+\frac{1}{2}\left(b+1\right)+\frac{1}{2}\left(b+1\right)+\frac{4}{\left(a-b\right)\left(b+1\right)^2}\ge4\) (tách \(b+1=\frac{1}{2}\left(b+1\right)+\frac{1}{2}\left(b+1\right)\))
Áp dụng BĐT Cô si cho 4 số dương ta thu được đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi \(a-b=\frac{1}{2}\left(b+1\right)=\frac{4}{\left(a-b\right)\left(b+1\right)^2}\)
\(\Leftrightarrow a=2;b=1\) (chị giải rõ ra nha, em làm tắt thôi)
Bài 3 để sau ạ, có lẽ cần thêm đk b > 0. Khi đó a/ b > 1 tức là a > b và > 0
Dự đoán điểm rơi tại a = 1; b = 1/2
Em nghĩ ra rồi nhưng ko chắc đâu.
Bài 3: Dễ thấy b > 0 => a > b > 0
Trước tiên cần giảm bậc cái đã:D
\(2a^3+1=a^3+a^3+1\ge3\sqrt[3]{a^6.1}=3a^2\)
Đẳng thức xảy ra khi a = 1 (1)
Do vậy: \(\frac{2a^3+1}{4b\left(a-b\right)}\ge\frac{3a^2}{4ab-4b^2}\). Do a > b > 0. Chia hai vế cho b2 ta được:
\(\frac{2a^3+1}{4b\left(a-b\right)}\ge\frac{3\left(\frac{a}{b}\right)^2}{4.\frac{a}{b}-4}=\frac{3t^2}{4t-4}\) với \(t=\frac{a}{b}>1\)
Ta cần chứng minh \(\frac{3t^2}{4t-4}\ge3\Leftrightarrow\frac{t^2}{4t-4}\ge1\Leftrightarrow t^2-4t+4\ge0\Leftrightarrow\left(t-2\right)^2\ge0\) (đúng)
Đẳng thức xảy ra khi a = 2b tức là theo (1) suy ra \(b=\frac{1}{2}\)
Ta có đpcm.
Xét \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}-\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}=\frac{\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}=a-b\)
Tương tự, ta được: \(\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}-\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}=b-c\); \(\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}-\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}=c-a\)
Cộng theo vế của 3 đẳng thức trên, ta được: \(\left(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\right)\)\(-\left(\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\right)=0\)
\(\Rightarrow\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\)\(=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\)
Ta đi chứng minh BĐT phụ sau: \(a^2-ab+b^2\ge\frac{1}{3}\left(a^2+ab+b^2\right)\)(*)
Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\frac{2}{3}\left(a-b\right)^2\ge0\)*đúng*
\(\Rightarrow2LHS=\Sigma_{cyc}\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}=\Sigma_{cyc}\text{ }\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}\)\(\ge\Sigma_{cyc}\text{ }\frac{\frac{1}{3}\left(a+b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}=\frac{1}{3}\text{}\Sigma_{cyc}\left[\left(a+b\right)\right]=\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}\)
\(\Rightarrow LHS\ge\frac{a+b+c}{3}=RHS\)(Q.E.D)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
P/S: Có thể dùng BĐT phụ ở câu 3a để chứng minhxD:
1) ta chứng minh được \(\Sigma\frac{a^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}=\Sigma\frac{b^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\)
\(VT=\frac{1}{2}\Sigma\frac{a^4+b^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\ge\frac{1}{4}\Sigma\frac{a^2+b^2}{a+b}\ge\frac{1}{8}\Sigma\left(a+b\right)=\frac{a+b+c+d}{4}\)
bài 2 xem có ghi nhầm ko
Mình lm cho 1 cái bạn tự lm nốt nha
\(\frac{a^3}{b\left(c+a\right)}+\frac{b}{2}+\frac{c+a}{4}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3b\left(c+a\right)}{b\left(c+a\right)8}}=\frac{3}{2}a\)
mấy bài cơ bản nên cũng dễ, mk có thể giải hết cho bn vs 1 đk : bn đăng từng câu 1 thôi nhé !
bài 3 có thể lên gg tìm kỹ thuật AM-GM (cosi) ngược dấu
bài 8 c/m bđt phụ 5b3-a3/ab+3b2 </ 2b-a ( biến đổi tương đương)
những câu còn lại 1 nửa dùng bđt AM-GM , 1 nửa phân tích nhân tử ròi dựa vào điều kiện
2) Theo nguyên lí Dirichlet, trong ba số \(a^2-1;b^2-1;c^2-1\) có ít nhất hai số nằm cùng phía với 1.
Giả sử đó là a2 - 1 và b2 - 1. Khi đó \(\left(a^2-1\right)\left(b^2-1\right)\ge0\Leftrightarrow a^2b^2-a^2-b^2+1\ge0\)
\(\Rightarrow a^2b^2+3a^2+3b^2+9\ge4a^2+4b^2+8\)
\(\Rightarrow\left(a^2+3\right)\left(b^2+3\right)\ge4\left(a^2+b^2+2\right)\)
\(\Rightarrow\left(a^2+3\right)\left(b^2+3\right)\left(c^2+3\right)\ge4\left(a^2+b^2+1+1\right)\left(1+1+c^2+1\right)\) (2)
Mà \(4\left[\left(a^2+b^2+1+1\right)\left(1+1+c^2+1\right)\right]\ge4\left(a+b+c+1\right)^2\) (3)(Áp dụng Bunhicopxki và cái ngoặc vuông)
Từ (2) và (3) ta có đpcm.
Sai thì chịu
Xí quên bài 2 b:v
b) Không mất tính tổng quát, giả sử \(\left(a^2-\frac{1}{4}\right)\left(b^2-\frac{1}{4}\right)\ge0\)
Suy ra \(a^2b^2-\frac{1}{4}a^2-\frac{1}{4}b^2+\frac{1}{16}\ge0\)
\(\Rightarrow a^2b^2+a^2+b^2+1\ge\frac{5}{4}a^2+\frac{5}{4}b^2+\frac{15}{16}\)
Hay \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\ge\frac{5}{4}\left(a^2+b^2+\frac{3}{4}\right)\)
Suy ra \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge\frac{5}{4}\left(a^2+b^2+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+c^2+\frac{1}{2}\right)\)
\(\ge\frac{5}{4}\left(\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b+\frac{1}{2}c+\frac{1}{2}\right)^2=\frac{5}{16}\left(a+b+c+1\right)^2\) (Bunhiacopxki) (đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\)