NT
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
L
3
1 tháng 1 2018
Ta có:\(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\)
Từ giả thiết ta có a,b \(\ne\)0\(\Rightarrow a+b=\frac{a^3+b^3}{a^2-ab+b^2}=\frac{2}{a^2-ab+b^2}\)
Vì \(a^2-ab+b^2=\frac{a^2-2ab+b^2+a^2+b^2}{2}=\frac{\left(a-b\right)^2+a^2+b^2}{2}\ge0\)
nên \(a+b=\frac{2}{a^2-ab+b^2}\le\frac{2}{1}=2\)
BU
1
9 tháng 8 2017
Giả sử (a+b)>2 thì (a+b)^2>4>>>>2(a^2+b^2)>=(a+b)^2>4>>>a^2+b^2>2(trái với gt đề bài)>>>Gt sai
>>>(a+b)<=2
LD
1
CB
2 tháng 5 2017
từ gt \(\Rightarrow\)abc>0 => (2-a)(2-b)(2-c)>0 =>
8+2(ab+bc+ca)−4(a+b+c)−abc≥0 => 2(ab+bc+ca) \(\ge\)4 + abc \(\ge\)4
=> (a+b+c)^2≥4+a2+b2+c2 => a^2+b^2+c^2 \(\le\) 5
6 tháng 12 2019
Băng Băng 2k6, Vũ Minh Tuấn, Nguyễn Việt Lâm, HISINOMA KINIMADO, Akai Haruma, Inosuke Hashibira,
Nguyễn Lê Phước Thịnh, Nguyễn Thị Ngọc Thơ, Nguyễn Thanh Hiền, Quân Tạ Minh, @tth_new
Help meeee! thanks nhiều ạ
AH
Akai Haruma
Giáo viên
7 tháng 3 2018
Lời giải:
Bài này thực chất không cần thiết phải có điều kiện \(1\leq a,b,c\leq 2\)
Chỉ cần \(a,b,c>0\) thôi em nhé.
Ta có: \(a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow \frac{9abc}{3\sqrt[3]{abc}}\geq \frac{9abc}{a+b+c}\Leftrightarrow 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\geq \frac{9abc}{a+b+c}\)
Do đó:
\(a^2+b^2+c^2+3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\geq a^2+b^2+c^2+\frac{9abc}{a+b+c}(1)\)
Ta đi cm \(a^2+b^2+c^2+\frac{9abc}{a+b+c}\geq 2(ab+bc+ac)(2)\)
\(\Leftrightarrow (a^2+b^2+c^2)(a+b+c)+9abc\geq 2(ab+bc+ac)(a+b+c)\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3abc\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)\)
Đây chính là BĐT Schur bậc 3 (luôn đúng)
Từ (1); (2) \(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\geq 2(ab+bc+ac)\)
(đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c\)
WR
20 tháng 8 2017
1.
\(-1\le a\le2\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+1\ge0\\a-2\le0\end{cases}\Rightarrow\left(a+1\right)\left(a-2\right)\le0\Leftrightarrow a^2\le}2+a\)
Tương tự \(b^2\le2+b,c^2\le2+c\Rightarrow a^2+b^2+c^2\le6+a+b+c=6\)
Dấu "=" xảy ra khi a=2,b=c=-1 và các hoán vị của chúng
WR
20 tháng 8 2017
Xét \(\frac{a^2+1}{a}=a+\frac{1}{a}\)
Dễ thấy dấu "=" xảy ra khi \(a=\frac{1}{3}\)
khi đó \(a+\frac{1}{a}=a+\frac{1}{9a}+\frac{8}{9a}\ge2\sqrt{\frac{a.1}{9a}}+\frac{8}{\frac{9.1}{3}}=\frac{10}{3}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a^2+1}\le\frac{3}{10}\)
tương tự =>đpcm
25 tháng 7 2018
Theo hằng đẳng thức đáng nhớ ta có :
\(a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=3\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)+3abc\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=3\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca+abc\right)\left(1\right)\)
Ta lại có : \(0\le a,b,c\le2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}abc\ge0\\\left(2-a\right)\left(2-b\right)\left(2-c\right)\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow8-4a-4b-4c+2ab+2bc+2ca-abc\ge0\)
\(\Leftrightarrow2ab+2bc+2ca-4\ge abc\Leftrightarrow abc\le-4\) ( Vì \(a,b,c\ge0\) ) \(\left(2\right)\)
Thay (2) vào (1) ta được :
\(a^3+b^3+c^3\le3\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca-4\right)=3\left[\left(a+b+c\right)^2-3\left(ab+bc+ca\right)\right]=3\left(9-3\left(ab+bc+ca\right)\right)\)
Mà từ (2) ta lại có : \(2ab+2bc+2ca\ge abc+4=4\Rightarrow ab+bc+ca\ge2\Rightarrow-3\left(ab+bc+ca\right)\le-6\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\le3\left(9-6\right)=9\)
Dấu \("="\) xảy ra khi \(a=0;b=1;c=2\) và hoán vị
25 tháng 5 2018
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có :
\(\left(1\cdot\sqrt{a+1}+1\cdot\sqrt{b+1}+1\cdot\sqrt{c+1}\right)^2\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left[a+1+b+1+c+1\right]\)
\(\Rightarrow\left(1\cdot\sqrt{a+1}+1\cdot\sqrt{b+1}+1\cdot\sqrt{c+1}\right)\le3\left(a+b+c+3\right)=12\)(vì a + b + c = 1)
\(\Rightarrow\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}\le2\sqrt{3}\)(đpcm)
Gỉa sử : \(a+b\le2\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^3>8\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)>8\)
\(\Leftrightarrow2+3ab\left(a+b\right)>8\)
\(\Rightarrow ab\left(a+b\right)>2\) \(\Rightarrow ab\left(a+b\right)>a^3+b^3\)
chia 2 vế cho số dương \(a+b:ab>a^2-ab+b^2\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2< 0\) ( vô lí)
\(\Rightarrow\) \(a+b\le2\) \(\left(đpcm\right)\)
Đặt \(a=x-m\) , \(b=x+m\) . Giả sử a + b > 2 thì \(2x>2\Leftrightarrow x>1\)
Suy ra : \(a^3+b^3=\left(x+m\right)^3+\left(x-m\right)^3=2\)
\(\Leftrightarrow2x^3+3xm\left(x+m\right)-3xm\left(x-m\right)=2\)
\(\Leftrightarrow2x^3+6m^2x=2\)
Do x > 1 nên ta có \(2x^3>2\) , \(6m^2x\ge0\)
\(\Rightarrow a^3+b^3>2\) trái với giả thiết.
Vậy \(a+b\le2\)