Question

[Linh Vương Nguyễn Diệu]

Cho `a^2+b^2+c^2=k\ge1`

Chứng minh:

a)`k+2bc\ge2a(b+c)`

b)`(a+b+c)^2\le2k(1+bc)^2`

c)`a+b+c+2/k abc\le\sqrt{2k}`

Áp dụng để làm:

`a,b,c\ge0`

`a^2+b^2+c^2=1`

Tìm Min,Max `P=a/(1+bc)+b/(1+ca)+c/(1+ab)`

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

c/

Nếu dấu là trừ:

BĐT cần chứng minh tương đương:

\(\left(a+b+c-\frac{2}{k}abc\right)^2\le2k\)

Ta có:

\(VT=\left[\left(a+b\right).1+c\left(1-\frac{2}{k}ab\right)\right]^2\)

\(VT\le\left[\left(a+b\right)^2+c^2\right]\left[1+\left(1-\frac{2}{k}ab\right)^2\right]\)

\(VT\le\left(k+2ab\right)\left(2-\frac{4}{k}ab+\frac{4a^2b^2}{k^2}\right)\)

\(VT\le2k-\frac{4}{k}a^2b^2+\frac{8}{k^2}\left(ab\right)^3\)

Do đó ta chỉ cần chứng minh: \(2k-\frac{4}{k}\left(ab\right)^2+\frac{8}{k^2}\left(ab\right)^3\le2k\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{k}\left(ab\right)^2-\frac{2}{k^2}\left(ab\right)^3\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{k}\left(ab\right)^2\left(1-\frac{2ab}{k}\right)\ge0\)

Từ giả thiết \(k=a^2+b^2+c^2\ge a^2+b^2\ge2ab\Rightarrow\frac{2ab}{k}\le1\)

\(\Rightarrow1-\frac{2ab}{k}\ge0\Rightarrow\frac{1}{k}\left(ab\right)^2\left(1-\frac{2ab}{k}\right)\ge0\) (đpcm)

Answer 2

[Nguyễn Việt Lâm]

À ghi lộn đó bạn, bạn thay lại hệ số đúng thôi, ko ảnh hưởng gì cả vì số hạng đó được bỏ qua trong quá trình chứng minh