Question

[tan]

cho a^2+b^2+c^2<=18 tim GTNN cua p=3ab+bc+ca

---

---

Answer 1

[Hoàng Lê Bảo Ngọc]

\(\hept{\begin{cases}\left(a+b\right)^2\ge0\\\left(b+c\right)^2\ge0\\\left(c+a\right)^2\ge0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a^2+b^2\ge-2ab\\b^2+c^2\ge-2bc\\c^2+a^2\ge-2ac\end{cases}\Rightarrow}ab+bc+ac\ge-\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge-18}\)

Mặt khác : Từ \(a^2+b^2\ge-2ab\Rightarrow ab\ge\frac{-\left(a^2+b^2\right)}{2}\ge\frac{-\left(a^2+b^2+c^2\right)}{2}\ge-\frac{18}{2}=-9\)

Do đó : Min P = - 9 - 18 = -27 <=> a = 3 ;  b = -3 ; c = 0 hoặc a = -3 ; b = 3 ; c = 0 

Answer 2

[Hoàng Lê Bảo Ngọc]

Xin lỗi, mình giải nhầm mình xin sửa lại : 

Ta có :

\(0\le\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)\Rightarrow ab+bc+ca\ge-9\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+b+c=0\\a^2+b^2+c^2=18\end{cases}}\)

Mặt khác : \(\frac{a^2+b^2}{2}\ge-ab\Rightarrow2ab\ge-\left(a^2+b^2\right)\ge-\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge-18\)

=> \(P\ge-9-18=-27\)

Vậy : Min P = -27 \(\Leftrightarrow a=3,b=-3,c=0\)hoặc \(a=-3,b=3,c=0\)