Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Cho \(a^2+b^2=2\) và \(\left(a-d\right)\left(b-c\right)=1\). Chứng minh \(c^2+d^2-2ad-2bc-2ab\ge-2\)
ta có:
\(VT+4=\left(a^2-2ad+d^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(a^2-2ab+b^2\right)=\left(a-d\right)^2+\left(b-d\right)^2+\left(a-b\right)^2\)theo AM-GM:\(\left(a-d\right)^2+\left(b-c\right)^2\ge2\left(a-d\right)\left(b-c\right)=2\)
và \(\left(a-b\right)^2\ge0\)
do đó \(VT+4\ge2\Leftrightarrow VT\ge2\)
Dấu = xảy ra khi a=b=1;c=d=0 ...
a,b,c khác nhau đôi một nghĩa là từng cặp số khác nhau ,là:
+a khác b
+b khác c
+c khác a
\(A=\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ab}\)
Từ \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0=>\frac{ab+bc+ac}{abc}=0=>ab+bc+ac=0\)
Suy ra: \(ab==-\left(bc+ac\right)=-bc-ac\)
\(bc=-\left(ab+ac\right)=-ab-ac\)
\(ac=-\left(ab+bc\right)=-ab-bc\)
Nên \(a^2+2ab=a^2+bc+bc=a^2+bc+\left(-ab-ac\right)=a\left(a-b\right)-c\left(a-b\right)=\left(a-b\right)\left(a-c\right)\)
Tương tự,ta cũng có: \(b^2+2ac=\left(b-a\right)\left(b-c\right)\)
\(c^2+2ab=\left(c-a\right)\left(c-b\right)\)
Vậy \(A=\frac{1}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\frac{1}{\left(b-c\right)\left(b-c\right)}+\frac{1}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}=\frac{b-c+c-a+a-b}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)}=0\)
Bài làm
a) Ta có: ( a - b + c )2 = [ a - ( b - c ) ]2
= a2 - 2a( b - c ) + ( b - c )2
= a2 - 2ab + 2ac + b2 - 2bc + c2
= a2 + b2 + c2 + 2ac - 2ab - 2bc
Mik làm mấy lần rồi nhưng vẫn ra kết quả như vậy, bạn xem lại đề nhé.
b) Ta có: a2 + b2 + c2 > ab + bc + ca
=> 2( a2 + b2 + c2 ) > 2( ab + bc + ca )
=> 2a2 + 2b2 + 2c2 > 2ab + 2bc + 2ca
=> 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2bc - 2ca > 0
=> ( a2 + b2 + c2 ) + ( a2 + b2 + c2 - 2ab - 2bc - 2ca ) > 0
=> ( a2 + b2 + c2 ) + ( a - b - c )2 > 0 ( Luôn đúng )
Vậy a2 + b2 + c2 > ab + bc + ca ( đpcm ).
c) a2 + b2 + 1 > a + b + ab ( mik nghĩ cái a ở vế phải phải là a thôi chứ không phỉa a^2. bạn kiểm tra đề nha )
=> 2a2 + 2b2 + 2 > 2a + 2b + 2ab
=> 2a2 + 2b2 + 2 - 2a - 2b - 2ab > 0
=> ( a2 - 2ab + b2 ) + ( a2 - 2a + 1 ) + ( b2 - 2b + 1 ) > 0
=> ( a - b )2 + ( a - 1 )2 + ( b - 1 )2 > 0 ( luôn đúng )
Vậy a2 + b2 + 1 > a + b + ab ( đpcm )
\(1,\left(a-b+c\right)^2=\left[\left(a-b\right)+c\right]^2\)
\(=\left(a-b\right)^2+2\left(a-b\right)c+c^2\)
\(=a^2+b^2+c^2-2ab-2bc-2ca\)
\(2,..2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc\)
\(=\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)\)
\(=\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+2ca\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c
3, Sửa đề : \(a^2+b^2+1\ge a+b+ab\)
Ta có : \(2a^2+2b^2+2-2a-2b-2ab\)
\(=\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)\)
\(=\left(a-b\right)^2+\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow2a^2+2b^2+2\ge2a+2b+2ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+1\ge a+b+ab\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = 1
Câu này lớp 7 tớ có làm. Cũng như cái mà gọi là áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau và tỉ lệ thức. mình tính ra dc a, b. c rồi.
Lời giải:
Từ điều kiện đã cho ta có:
\(c^2+d^2-2ad-2bc-2ab+2=c^2+d^2-2ad-2bc-2ab+a^2+b^2\)
\(=(c^2-2bc+b^2)+(d^2-2ad+a^2)-2ab\)
\(=(b-c)^2+(a-d)^2-2ab\)
\(=(b-c)^2-2(b-c)(a-d)+(a-d)^2+2(b-c)(a-d)-2ab\)
\(=(b-c-a+d)^2+2-2ab\)
\(=(b-c-a+d)^2+a^2+b^2-2ab\)
\(=(b-c-a-d)^2+(a-b)^2\geq 0\)
\(\Rightarrow c^2+d^2-2ad-2bc-2ab\geq -2\) (đpcm)
Lời giải:
Từ điều kiện đã cho ta có:
\(c^2+d^2-2ad-2bc-2ab+2=c^2+d^2-2ad-2bc-2ab+a^2+b^2\)
\(=(c^2-2bc+b^2)+(d^2-2ad+a^2)-2ab\)
\(=(b-c)^2+(a-d)^2-2ab\)
\(=(b-c)^2-2(b-c)(a-d)+(a-d)^2+2(b-c)(a-d)-2ab\)
\(=(b-c-a+d)^2+2-2ab\)
\(=(b-c-a+d)^2+a^2+b^2-2ab\)
\(=(b-c-a-d)^2+(a-b)^2\geq 0\)
\(\Rightarrow c^2+d^2-2ad-2bc-2ab\geq -2\) (đpcm)