Question

[Xuan Tran]

Cho : \(a^{2014}+b^{2014}+c^{2014}=a^{1007}.b^{1007}+b^{1007}.c^{1007}+c^{1007}.a^{1007}\). Tính A=\(\left(a-b\right)^{2014}+\left(b-c\right)^{2015}+\left(a-c\right)^{2016}\)

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

Đặt $(a^{1007}, b^{1007}, c^{1007})=(x,y,z)$

Khi đó, ĐKĐB tương đương với:

$x^2+y^2+z^2=xy+yz+xz$

$\Leftrightarrow 2x^2+2y^2+2z^2=2xy+2yz+2xz$

$\Leftrightarrow (x^2-2xy+y^2)+(y^2-2yz+z^2)+(z^2-2zx+x^2)=0$

$\Leftrightarrow (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=0$

Ta thấy $(x-y)^2, (y-z)^2, (z-x)^2\geq 0$ với mọi $x,y,z$

Do đó để tổng của chúng bằng $0$ thì $(x-y)^2=(y-z)^2=(z-x)^2=0$

$\Rightarrow x=y=z$

$\Leftrightarrow a^{1007}=b^{1007}=c^{1007}$

$\Leftrightarrow a=b=c$

Khi đó:

$A=0^{2014}+0^{2015}+0^{2016}=0$