TG
3
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
K
1
PN
1 tháng 9 2020
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :
\(\frac{a}{1+b}+\frac{4}{9}.a\left(1+b\right)\ge2\sqrt{\frac{a.4.a.\left(1+b\right)}{\left(1+b\right)9}}=2\sqrt{\frac{4a^2}{3^2}}=\frac{4a}{3}\)
\(\frac{b}{1+a}+\frac{4}{9}.b\left(1+a\right)\ge2\sqrt{\frac{b.4.b.\left(1+a\right)}{\left(1+a\right)9}}=2\sqrt{\frac{2^2b^2}{3^2}}=\frac{4b}{3}\)
Cộng theo vế các bất đẳng thức cùng chiều ta được :
\(\frac{a}{1+b}+\frac{b}{1+a}+\frac{4}{9}.a\left(1+b\right)+\frac{4}{9}.b\left(1+a\right)\ge\frac{4a}{3}+\frac{4b}{3}\)
\(< =>\frac{a}{1+b}+\frac{b}{1+a}\ge\frac{4a}{3}-\frac{4}{9}\left(a+ab\right)-\frac{4}{9}\left(b+ab\right)+\frac{4b}{3}\)
\(< =>\frac{a}{1+b}+\frac{b}{1+a}\ge\frac{8a}{9}+\frac{8b}{9}-\frac{4}{9}ab-\frac{4}{9}ab\)
\(< =>S\ge\frac{1}{a+b}+\frac{8}{9}\left(a+b\right)-\frac{8}{9}ab=\left(\frac{1}{a+b}+a+b\right)-\frac{a+b+8ab}{9}\)
\(< =>S\ge2-\frac{a+b+8ab}{9}\)
Do \(4ab\le\left(a+b\right)^2\le1< =>a+b+8ab\le3\)
Khi đó ta được : \(S\ge2-\frac{3}{9}=2-\frac{1}{3}=\frac{5}{3}\).Đẳng thức xảy ra \(< =>a=b=\frac{1}{2}\)
Vậy GTNN của \(S=\frac{5}{3}\)đạt được khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
4 tháng 2 2020
\(S=\left(a^2+b^2+c^2+\frac{1}{8a}+\frac{1}{8b}+\frac{1}{8c}+\frac{1}{8a}+\frac{1}{8b}+\frac{1}{8c}\right)+\frac{3}{4a}+\frac{3}{4b}+\frac{3}{4c}\)
\(\ge9\sqrt[9]{a^2b^2c^2.\frac{1}{8a}.\frac{1}{8b}.\frac{1}{8c}.\frac{1}{8a}.\frac{1}{8b}.\frac{1}{8c}}+\frac{3}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\ge\frac{9}{4}+9.\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}\ge\frac{9}{4}+\frac{9}{4}.\frac{1}{\frac{a+b+c}{3}}\ge\frac{9}{4}+\frac{9}{4}.2=\frac{27}{4}\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{2}\)
Vậy \(Min_S=\frac{27}{4}\)
20 tháng 2 2018
Xét : a^2/b-1 + 4.(b-1) >= \(2\sqrt{\frac{a^2}{b-1}.4.\left(b-1\right)}\) = 4a
Tương tự : b^2/a-1 + 4.(a-1) >= 4b
<=> G + 4.(a-1)+(4.(b-1) >= 4a+4b
<=> G + 4a+4b-8 >= 4a+4b
<=> G >= 4a+4b-4a-4b+8 = 8
Dấu "=" xảy ra <=> a^2/b-1 = 4.(b-1) và b^2/a-1 = 4.(a-1) <=> a=b=2
Vậy GTNN của G = 8 <=> a=b=2
Tk mk nha
20 tháng 2 2018
đúng rồi
đúng
đúng
100000000000000000000000000000000000000000000000000%
KC
1
TK
2 tháng 5 2019
Ta sẽ áp dụng Côsi cho 3 số:xa+xa+1/a2
Dự đoán "=" xảy ra <=> a=2 và xa=1/a2
=> x=1/8
khi đó ta có
S= a+1/a2 =(a/8+a/8+1/a2) +6a/8 >= 3 căn bậc 3 của( a/8. a/8. 1/a2) +(6×2)/8=9/4
VậyMinS=9/4 đặt đc khi a=2
DT
11 tháng 6 2019
Ta có \(\left(x-2\right)^2\ge0\forall x\Leftrightarrow x^2-4x+4\ge0\Leftrightarrow x^2\ge4\left(x-1\right).\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{x-1}\ge4\)(với x>1) Dấu '=' xảy ra khi x-2=0 <=> x=2 (TMĐK)
Áp dụng bất đẳng thức trên cho a,b,c >1 ta được
\(\frac{a^2}{a-1}\ge4\); \(\frac{2b^2}{b-1}\ge2.4=8\); \(\frac{2017c^2}{c-1}\ge2017.4=8068\)
Suy ra \(M=\frac{a^2}{a-1}+\frac{2b^2}{b-1}+\frac{2017c^2}{c-1}\ge4+8+8068=8080\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của M=8080 khi a=b=c=2
21 tháng 5 2015
1. x≥1 <=> \(\frac{1}{x}\le1\Leftrightarrow\frac{1}{x}+1\le2\Leftrightarrow A\le2\Rightarrow MaxA=2\Leftrightarrow x=1\)
2. Áp dụng bđt cosi cho x>0. ta có: \(x+\frac{1}{x}\ge2\sqrt{x.\frac{1}{x}}=2\Leftrightarrow P\ge2\Rightarrow MinP=2\Leftrightarrow x=\frac{1}{x}\Leftrightarrow x=1\)
21 tháng 5 2015
3: \(A=\frac{x^2+x+4}{x+1}=\frac{\left(x^2+2x+1\right)-\left(x+1\right)+4}{x+1}=x+1-1+\frac{4}{x+1}\)
áp dụng cosi cho 2 số dương ta có: \(x+1+\frac{4}{x+1}\ge2\sqrt{x+1.\frac{4}{x+1}}=2\Leftrightarrow A+1\ge2\Rightarrow A\ge3\Rightarrow MinA=3\Leftrightarrow x+1=\frac{4}{x+1}\Leftrightarrow x=1\)
A
5 tháng 9 2021
Áp dụng BĐT AM-GM cho các số dương ta có:
\(\frac{1}{2x}+2x\geq 2\)
\(\frac{9}{y}+y\geq 6\)
\( \frac{7}{3}(x+y)\geq \frac{7}{3}.\frac{7}{2}=\frac{49}{6}\)
Cộng theo vế các BĐT trên ta có:
\(P\geq \frac{97}{6} hay P_{\min}=\frac{97}{6} \)
Dấu "=" xảy ra khi
\((x,y)=(\frac{1}{2}, 3)\)
5 tháng 9 2021
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM kết hợp giả thiết x + y >= 7/2 ta có :
\(A=\frac{13}{3}x+\frac{10}{3}y+\frac{1}{2x}+\frac{9}{y}=\left(2x+\frac{1}{2x}\right)+\left(y+\frac{9}{y}\right)+\frac{7}{3}\left(x+y\right)\)
\(\ge2\sqrt{2x\cdot\frac{1}{2x}}+2\sqrt{y\cdot\frac{9}{y}}+\frac{7}{3}\cdot\frac{7}{2}=2+6+\frac{49}{6}=\frac{97}{6}\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x,y>0\\2x=\frac{1}{2x};y=\frac{9}{y}\\x+y=\frac{7}{2}\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{2}\\y=3\end{cases}}\)
Sorry.Because I am thirty years old
vc 30 tuổi mà ko bik làm