Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
n số a1, a2, …, an mà mỗi số trong chúng bằng1 hoặc -1 nên \(a_1.a_2;a_2.a_3;...;a_{n-1}.a_n;a_n.a_1\)nhận giá trị 1 hoặc -1.
Mà ta có \(a_1.a_2+a_2.a_3+...+a_{n-1}.a_n+a_n.a_1=0\)nên trong các hạng tử \(a_1.a_2;a_2.a_3;...;a_{n-1}.a_n;a_n.a_1\)sẽ có 1 nửa nhận giá trị 1, nửa còn lại nhận giá trị -1.
Đặt \(n=2k\)
Mặt khác: \(\left(x_1.x_2\right)\left(x_2.x_3\right)...\left(x_n.x_1\right)=\left(x_1\right)^2.\left(x_2\right)^2...\left(x_n\right)^2=1\)
\(\Rightarrow1^k.\left(-1\right)^k=1\Rightarrow\left(-1\right)^k=1\)nên k chẵn
Vậy \(n⋮4\)(đpcm)
xét n tích a1a2+a2a3+...+ana1, mỗi tích có giá trị bằng 1 hoặc -1 mà tổng của chúng =0 nên số tích có giá trị 1 bằng số tích có giá trị -1 và đều = n/2 => n chia hết cho 2
bây giờ ta chứng minh rằng số tích có giá trị bằng -1 cũng là số chẵn
thật vậy xét
A=(a1.a2)(a2.a3)...(an-1.an) (an.a-1)
ta thấy A =a1^2.a2^2....an^2 nên A>0 , chứng tỏ số tích có giá trị -1 cũng là số chẵn tức là n/2 là số chẵn , do đó n chia hết cho 4
a1a2+a2a3+...+ana1 = 0
Mà a1, a2, a3,...,an mỗi số nhận giá trị -1 hoặc 1 => am.an = 1 hoặc -1 (am,an là bất kì số nào trong dãy trên) và tổng trên có số giá trị nhận -1 và số giá trị nhận 1 bằng nhau.
Số số hạng trong tổng trên là số chẵn.
a1a2+a2a3+...+ana1 có 4 số hạng trở lên.
=> n chia hết cho 4 (đpcm)
Do \(\left|_{ }a_i\right|=1\)nên \(a_i=1\)hoặc \(a_1=-1\)
Suy ra: \(a_i.a_j=1\)hoặc \(a._ia_j=-1\)
Do \(a._{ }_1a_2+a_2.a_3+....a_n.a_1=0\)có n cặp, mỗi cặp nhận các giá trị là 1 hoặc -1và tổng của các cặp bằng 0 nên số cặp nhận giá trị là 1 bằng số cặp nhận giá trị là -1. vậy N chia hết cho 2.
Giả sử n=2k. suy ra có k cặp nhận giá trị bằng 1 và k cặp nhận giá trị bằng -1.
xét k cặp nhận giá trị là 1: do các cặp đều là tích của 2 số \(a_i.a_j\)nên k chia hết cho 2.
Tương tự cho k cặp nhận giá trị là -1.
Vậy k chia hết cho 2 suy ra k=2h nên n=2k=2.2h=4h nên n chia hết cho 4.
xét hiệu:
B-A=(a15-a1)+(a25-a2)+(a35-a3)+(a45-a4)+(a55-a5)
=(a1-1)a1(a1+1)(a12+1)+(a2-1)a2(a2+1)(a22+1)+(a3-1)a3(a3+1)(a32+1)+(a4-1)a4(a4+1)(a42+1)+(a5-1)a5(a5+1)(a52+1)
vì (a1-1)a1(a1+1);(a2-1)a2(a2+1);(a3-1)a3(a3+1);(a4-1)a4(a4+1);(a5-1)a5(a5+1) là tích 3 số tự nhiên liên tiếp
=>(a1-1)a1(a1+1);(a2-1)a2(a2+1);(a3-1)a3(a3+1);(a4-1)a4(a4+1);(a5-1)a5(a5+1) chia hết cho 3
=>(a1-1)a1(a1+1)(a12+1);(a2-1)a2(a2+1)(a22+1);(a3-1)a3(a3+1)(a32+1);(a4-1)a4(a4+1)(a42+1);(a5-1)a5(a5+1)(a52+1) chia hết cho 3
=>(a1-1)a1(a1+1)(a12+1)+(a2-1)a2(a2+1)(a22+1)+(a3-1)a3(a3+1)(a32+1)+(a4-1)a4(a4+1)(a42+1)+(a5-1)a5(a5+1)(a52+1) chia hết cho 3
=>B-A chia hết cho 3
mà A chia hết cho 3=>B chia hết cho 3
=>đpcm
Xét \(B-A=\left(a_1^5-a_1\right)+\left(a_2^5-a_2\right)+...+\left(a_n^5-a_n\right)..\)
Ta có: \(a_n^5-a_n=a_n\left(a_n^4-1\right)=a_n.\left(a_n-1\right)\left(a_n+1\right)\left(a_n^2+1\right)⋮3.\)
Tượng tự ta cũng có: \(a_1^5-a_1⋮3,a_2^5-a_2⋮3,....a_{n-1}^5-a_{n-1}⋮3.\)
\(\Rightarrow B-A⋮3,\)Mà \(A⋮3\Rightarrow B⋮3.\)
vì a1a2a3..an có tổng chia hết cho 9
Ta co \(a_1+a_2+a_3+......+a_n\)chia het cho 9
\(\Rightarrow\) tong cac chu so cua \(a_1+a_2+a_3+....+a_n\)cung chia het cho 9
\(\Rightarrow a_1a_2a_3.....a_n\)se luon luon chia het cho 9 \(\Rightarrow\)dpcm