Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Định dùng Abel mà quên là ko có điều kiện vs lại thường dùng cho BĐT:v
Đặt \(\frac{x}{a}=m;\frac{y}{b}=n\)
Khi đó \(m+n=1;mn=-2\).Ta cần chứng minh:\(m^3+n^3=7\).Thật vậy !
Ta có:
\(m^3+n^3=\left(m+n\right)^3-3mn\left(m+n\right)=1^3-3\cdot\left(-2\right)\cdot1=1+6=7\)
=> đpcm
Ta có: \(\frac{a+b}{2}\ge\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\Leftrightarrow\frac{a+b}{2}\ge\frac{2}{\frac{a+b}{ab}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{2}\ge\frac{2ab}{a+b}\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)*đúng*
Đẳng thức xảy ra khi a = b
Ta sẽ chứng minh bầng biến đổi tương đương :
a ) \(\frac{a^2+b^2}{2}\ge ab\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)(Luôn đúng)
Vậy bđt được chứng minh.
b) \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)
Vì bđt cuối luôn đúng nên bđt ban đầu được chứng minh.
Bạn cần thêm điều kiện a,b>0 cho cả a) nữa nhé :)
a/ ta có :\(\left(a-b\right)^2\ge0\Rightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\Rightarrow\frac{a^2+b^2}{2}\ge ab\) ( ĐPCM)
Ta có \(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\)
\(a^2+b^2\le\frac{\left(a+b\right)^2}{2}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{3}{ab}+\frac{1}{a^2+b^2}\ge\frac{3}{\frac{1}{4}}+\frac{1}{\frac{1}{2}}=12+2=14\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
\(\left(a^2+b^2\right)\left(1^2+1^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\left(bunhiacopxki\right)\)
\(\Rightarrow a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\) chứ bạn .