Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz:
\(P=\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{2ab}\ge\dfrac{\left(1+1\right)^2}{a^2+b^2+2ab}=\dfrac{4}{\left(a+b\right)^2}\ge\dfrac{4}{1^2}=4\)\("="\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\)
3/ Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có :
\(\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}\ge2\sqrt{\dfrac{\left(ab\right)^2}{\left(bc\right)^2}}=\dfrac{2a}{c}\)
\(\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\ge2\sqrt{\dfrac{\left(bc\right)^2}{\left(ac\right)^2}}=\dfrac{2b}{a}\)
\(\dfrac{c^2}{a^2}+\dfrac{a^2}{b^2}\ge2\sqrt{\dfrac{\left(ac\right)^2}{\left(ab\right)^2}}=\dfrac{2c}{b}\)
Cộng 3 vế của BĐT trên ta có :
\(2\left(\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\right)\ge2\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\ge\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\left(\text{đpcm}\right)\)
Bài 1:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab}\leq \frac{1}{2\sqrt{a^2.bc}}+\frac{1}{2\sqrt{b^2.ac}}+\frac{1}{2\sqrt{c^2.ab}}=\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}}{2abc}\)
Tiếp tục áp dụng BĐT AM-GM:
\(\sqrt{bc}+\sqrt{ac}+\sqrt{ab}\leq \frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2}+\frac{a+b}{2}=a+b+c\)
Do đó:
\(\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab}\leq \frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2abc}\leq \frac{a+b+c}{2abc}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
\(M=1+\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{2}{a}+1+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{2}{b}=2+2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)+\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}\right)\)
Theo BĐT Cauchy-Swarch ta có
\(2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\ge2.\dfrac{4}{a+b}=8\)
áp dụng BĐT AM-GM ta có
\(\dfrac{1}{a^2}+4\ge2\sqrt{\dfrac{1}{a^2}.4}=\dfrac{4}{a}\) ; \(\dfrac{1}{b^2}+4\ge2\sqrt{\dfrac{1}{b^2}.4}=\dfrac{4}{b}\)
Cộng hai vế BĐT trên lại ta được
\(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+8\ge\dfrac{4}{a}+\dfrac{4}{b}=4\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\ge16\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}\ge16-8=8\)
\(\Rightarrow M\ge2+8+8=18\) vậy MinM=18 tại x=y=1/2
Bài 1:
Biểu thức chỉ có giá trị lớn nhất, không có giá trị nhỏ nhất.
\(P=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}=1-\frac{1}{x+1}+1-\frac{1}{y+1}+1-\frac{1}{z+1}\)
\(P=3-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)
Giờ chỉ cần cho biến $x$ nhỏ vô cùng đến $0$, khi đó giá trị biểu thức trong ngoặc sẽ tiến đến dương vô cùng, khi đó P sẽ tiến đến nhỏ vô cùng, do đó không có min
Nếu chuyển tìm max thì em tìm như sau:
Áp dụng BĐT Cauchy_Schwarz:
\(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\geq \frac{(1+1+1)^2}{x+1+y+1+z+1}=\frac{9}{x+y+z+3}=\frac{9}{4}\)
Do đó: \(P=3-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\leq 3-\frac{9}{4}=\frac{3}{4}\)
Vậy \(P_{\min}=\frac{3}{4}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\)
Bài 2:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz :
\(\frac{1}{a+3b+2c}=\frac{1}{9}\frac{9}{(a+c)+(b+c)+2b}\leq \frac{1}{9}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{2b}\right)\)
\(\Rightarrow \frac{ab}{a+3b+2c}\leq \frac{1}{9}\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}+\frac{a}{2}\right)\)
Hoàn toàn tương tự:
\(\frac{bc}{b+3c+2a}\leq \frac{1}{9}\left(\frac{bc}{b+a}+\frac{bc}{c+a}+\frac{b}{2}\right)\)
\(\frac{ac}{c+3a+2b}\leq \frac{1}{9}\left(\frac{ac}{c+b}+\frac{ac}{a+b}+\frac{c}{2}\right)\)
Cộng theo vế:
\(\Rightarrow \text{VT}\leq \frac{1}{9}\left(\frac{b(a+c)}{a+c}+\frac{a(b+c)}{b+c}+\frac{c(a+b)}{a+b}+\frac{a+b+c}{2}\right)\)
hay \(\text{VT}\leq \frac{a+b+c}{6}\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$
\(a=b=c=1 \rightarrow A=12 \) ( ͡° ͜ʖ ͡°)
one slot in afternoon one shot ( ͡° ͜ʖ ͡°)
à nhầm không phải a=b=c=1. Chỉ có Min=12 là đúng thôi :V
Nghe mấy tiền bối đồn là đề này nằm trong đề đại học năm nào đó. Tự tìm nhá
Áp dụng BĐT Cô-si:
\(\dfrac{a^2+1}{a}+\dfrac{a}{a^2+1}\ge2\sqrt{\dfrac{\left(a^2+1\right).a}{a.\left(a^2+1\right)}}=2\)
Vậy Pmin=2\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2+1}{a}=\dfrac{a}{a^2+1}\)
\(\Rightarrow a^4+2a^2+1-a^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+1-a\right)\left(a^2+1+a\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a^2-a+1=0\\a^2+a+1=0\end{matrix}\right.\)(vô nghiệm)
Vậy Pmin=2.