Question

[Trần Tuyết Như]

Cho a là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng tỏ a ² - 1 chia hết cho 24.

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

Vì $a$ là snt lớn hơn 3 nên $a$ lẻ và $a$ không chia hết cho 3.

Vì $a\not\vdots 3\Rightarrow a\equiv \pm 1\pmod 3$

$\Rightarrow a^2\equiv (\pm 1)^2\equiv 1\pmod 3$

$\Rightarrow a^2-1\equiv 0\pmod 3$

$\Rightarrow a^2-1\vdots 3(1)$

Lại có:

$a$ lẻ nên đặt $a=2k+1$ với $k$ nguyên.

$a^2-1=(2k+1)^2-1=4k^2+4k=4k(k+1)$

Vì $k,k+1$ là 2 số nguyên liên tiếp nên trong 2 số sẽ có 1 số chẵn và 1 số lẻ.

$\Rightarrow k(k+1)\vdots 2$

$\Rightarrow a^2-1=4k(k+1)\vdots 8$

Vậy $a^2-1\vdots 8(2)$

Từ $(1); (2)$, mà $(3,8)=1$ nên $a^2-1\vdots (3.8)$ hay $a^2-1\vdots 24$