Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1) Áp dụng BĐT bunhia, ta có
\(P^2\le3\left(6a+6b+6c\right)=18\Rightarrow P\le3\sqrt{2}\)
Dấu = xảy ra <=> a=b=c=1/3
\(\dfrac{x^2}{1+x^4}\ge\dfrac{0}{1+x^4}=0\)
GTNN là 0 khi x=0
\(\dfrac{x^2}{1+x^4}\le\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow\left(x^2-1\right)^2\ge0\)
GTLN là \(\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow\)\(\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-1\end{matrix}\right.\)
\(P=\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{x+z}+\dfrac{z}{x+y}\)
\(P=\dfrac{x^2}{xy+xz}+\dfrac{y^2}{xy+yz}+\dfrac{z^2}{xz+yz}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức
\(\Rightarrow\dfrac{x^2}{xy+xz}+\dfrac{y^2}{xy+yz}+\dfrac{z^2}{xz+yz}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+xz\right)}\) ( 1 )
Theo hệ quả của bất đẳng thức Cauchy
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+xz\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+xz\right)}\ge\dfrac{3\left(xy+yz+xz\right)}{2\left(xy+yz+xz\right)}=\dfrac{3}{2}\) ( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 )
\(\Rightarrow\dfrac{x^2}{xy+xz}+\dfrac{y^2}{xy+zy}+\dfrac{z^2}{xz+yz}\ge\dfrac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{x+z}+\dfrac{z}{x+y}\ge\dfrac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow P\ge\dfrac{3}{2}\)
Vậy \(P_{min}=\dfrac{3}{2}\)
Dấu " = " xảy ra khi \(x=y=z\)
bài này \(P\ge\dfrac{3}{2}\) là BĐT Nesbitt có vô vàn cách c/m BĐT này từ cách cấp 1-> cấp 3 bn cần thì IB
còn đây là cách c/m tổng quát có thể áp dụng cho mọi bài cả bài này Here
Câu c tương tự câu a. Chia ra 2 trường hợp để giải.
Còn một cách giải nhanh hơn dễ hơn đó là lập bảng xét dấu. Nhưng cái này lên lớp 10 sẽ được tìm hiểu rỏ hơn. Chúc bạn may mắn.
a) \(\frac{2}{x-1}>1\Leftrightarrow\frac{2}{x-1}-1>0\Leftrightarrow\frac{3-x}{x-1}>0\)
Chia làm 2 trường hợp
TH1: Cả từ và mẩu đều dương.
\(\left\{{}\begin{matrix}3-x>0\\x-1>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x< 3\\x>1\end{matrix}\right.\)
Vậy .......
TH2: Cả tử và mẫu đều âm.
\(\left\{{}\begin{matrix}3-x< 0\\x-1< 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x>3\\x< 1\end{matrix}\right.\)( vô nghiệm.)
\(A=\dfrac{x}{x-2}=>x.A=\dfrac{x.x}{x-2}=\dfrac{x.x-2.2+4}{x-2}\)
\(\Leftrightarrow x.A=x+2+\dfrac{4}{x-2}=\left(x-2\right)+\dfrac{4}{x-2}+4\)
có \(x>2\Leftrightarrow x-2>0\Rightarrow x-2=\sqrt{\left(x-2\right)^2}\)
\(x.A=\left(\sqrt{x-2}-\dfrac{2}{\sqrt{x-2}}\right)^2+8\)
có \(\left(\sqrt{x-2}-\dfrac{2}{\sqrt{x-2}}\right)^2\ge0\left\{x=4\right\}\)
GTNN x.A =8 khi x =4