Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta sẽ chứng minh: \(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}-3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge0\) (1)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel,ta có: \(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}\) (2)
Mặt khác,ta cũng có: \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)=\frac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)}{a+b+c}\)
Ta cần chứng minh \(a^2+b^2+c^2-3\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)\ge0\) (3)
Thay a + b + c = 0 vào (1),ta cần chứng minh: \(a^2+b^2+c^2\ge0\)(luôn đúng) (4)
Từ (4) suy ra (3) đúng suy ra (2) đúng suy ra đcpm
Do \(a,b,c\in\left[-1;2\right]\Rightarrow\left(a+1\right)\left(a-2\right)\le0\Rightarrow a^2\le a+2\)
Tương tự:
\(b^2\le b+2;c^2\le c+2\Rightarrow a^2+b^2+c^2\le a+b+c+6\)
\(\Rightarrow a+b+c\ge0\) vì \(a^2+b^2+c^2=6\)
Trình bày khác Cool Kid xíu!
\(a+b+c=\Sigma_{cyc}\left(a+1\right)\left(2-a\right)+\Sigma_{cyc}\left(a^2-2\right)\)
\(=\Sigma_{cyc}\left(a+1\right)\left(2-a\right)\ge0\) vì \(a,b,c\in\left[-1;2\right]\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(-1;-1;2\right)\) và các hoán vị.
Bài này hay:)
c = min {a,b,c}. Đặt
\(a-c=x;b-c=y\Rightarrow x,y\ge0\) và x + y = a + b - 2c \(=3-3c\le3\)
\(\Rightarrow a-b=x-y;c=\frac{3-x-y}{3}\)
\(a=x+c=x+\frac{3-x-y}{3}=\frac{2x-y+3}{3}\)
\(b=y+c=\frac{2y-x+3}{3}\)
Như vậy: \(K=\sqrt{4\left(2x-y+3\right)+y^2}+\sqrt{4\left(2y-x+3\right)+x^2}+\sqrt{4\left(3-x-y\right)+\left(x-y\right)^2}\)
\(=\sqrt{y^2-4y+8x+12}+\sqrt{x^2-4x+8y+12}+\sqrt{4\left(3-x-y\right)+\left(x-y\right)^2}\)
Giờ em đang bận, tối em làm tiếp!
\(12a+\left(b-c\right)^2=4a\left(a+b+c\right)+b^2-2bc+c^2\)
\(=4a^2+b^2+c^2+4ab+4ac+2bc-4bc\)
\(=\left(2a+b+c\right)^2-4bc\le\left(2a+b+c\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{12a+\left(b-c\right)^2}\le2a+b+c\)
Tương tự: \(\sqrt{12b+\left(a-c\right)^2}\le a+2b+c\); \(\sqrt{12c+\left(a-b\right)^2}\le a+b+2c\)
Cộng vế với vế:
\(K\le4\left(a+b+c\right)=12\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;3\right)\) và các hoán vị
Áp dụng bđt : (x+y)^2 < = 2.(x^2+y^2) thì :
(a+b)^2 < = 2.(a^2+b^2) = 2 . 2 = 4
=> a+b < = 2
Áp dụng bđt cosi ta có : 2a.b < = a^2+b^2 = 2
<=> a.b < = 1
Có :
P = \(\sqrt{ab}\). ( \(\sqrt{a.\left(a+8\right)}+\sqrt{b.\left(b+8\right)}\))
< = 1 . \(\frac{\sqrt{9a.\left(a+8\right)}+\sqrt{9b.\left(b+8\right)}}{3}\)
Áp dụng bđt : x.y < = (x+y)^2/4 thì :
P < = \(\frac{9a+a+8+9b+b+8}{2.3}\)
= \(\frac{10.\left(a+b\right)+16}{6}\)
< = \(\frac{10.2+16}{6}\)= 6
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=1
Vậy ..............
Tk mk nha
Do \(-1\le a\le2\Rightarrow\left(a+1\right)\left(a-2\right)\le0\Leftrightarrow a^2-a-2\le0\)
Tương tự ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}b^2-b-2\le0\\c^2-c-2\le0\end{matrix}\right.\)
Cộng vế với vế ta được:
\(a^2+b^2+c^2-\left(a+b+c\right)-6\le0\)
\(\Leftrightarrow-\left(a+b+c\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow a+b+c\ge0\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=-1\\c=-1\end{matrix}\right.\) và các hoán vị