Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Câu 3 : Ta có :
\(\left\{{}\begin{matrix}a^2+1=a^2+ab+bc+ca=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\\b^2+1=b^2+ab+bc+ca=\left(b+c\right)\left(b+a\right)\\c^2+1=c^2+ab+bc+ca=\left(c+a\right)\left(c+b\right)\end{matrix}\right.\)
Thay vào biểu thức ta được :
\(\sqrt{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)}=\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)\left(b+a\right)\left(c+a\right)\left(c+b\right)}=\sqrt{\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\right]^2}=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
Vậy biểu thức trên là một số hữu tỉ .
Wish you study well !!!
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a-b=x\\b-c=y\\c-a=z\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x+y+z=0\)
\(\Leftrightarrow A=\sqrt{\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}}\\ \Leftrightarrow A=\sqrt{\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2-2\left(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xz}\right)}\\ \Leftrightarrow A=\sqrt{\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2-\dfrac{2\left(x+y+z\right)}{xyz}}\\ \Leftrightarrow A=\sqrt{\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2-\dfrac{2\cdot0}{xyz}}\\ \Leftrightarrow A=\sqrt{\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2}=\left|\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right|\left(đpcm\right)\)
Ta có \(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}=\left(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{c}\right)^2+2\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{ac}-\dfrac{1}{bc}\right)\)
= \(\left(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{c}\right)^2+2.\dfrac{c+b-a}{abc}\)
= \(\left(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{c}\right)^2\) (vì a = b + c)
Suy ra \(\sqrt{\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}}=\sqrt{\left(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{c}\right)^2}=\left|\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{c}\right|\)
Do a, b, c là các số hữu tỉ khác 0 nên \(\left|\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{c}\right|\) là một số hữu tỉ
\(a=b+c\Rightarrow a-b-c=0\)
\(\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}=\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+0}=\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{2\left(a-b-c\right)}{abc}}\)
\(=\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}-\frac{2}{ab}-\frac{2}{ac}+\frac{2}{bc}}=\sqrt{\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{a}\right)^2}=\left|\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{a}\right|\)
\(A=\sqrt{\dfrac{b^2\left(a-b\right)^2+a^2\left(a-b\right)^2+a^2b^2}{a^2b^2\left(a-b\right)^2}}\)
\(=\sqrt{\dfrac{b^2\left(a^2-2ab+b^2\right)+a^2\left(a^2-2ab+b^2\right)+a^2b^2}{a^2b^2\left(a-b\right)^2}}\)
\(=\sqrt{\dfrac{b^4+a^4-2ab^3-2a^3b+3a^2b^2}{a^2b^2\left(a-b\right)^2}}=\sqrt{\dfrac{\left(b^2+a^2\right)^2-2ab\left(a^2+b^2\right)+a^2b^2}{a^2b^2\left(a-b\right)^2}}\)
\(=\sqrt{\dfrac{\left(b^2+a^2-ab\right)}{a^2b^2\left(a-b\right)^2}}=\left|\dfrac{a^2+b^2-ab}{ab\left(a-b\right)}\right|\)
Do a,b là số hữu tỉ\(\Rightarrow\)\(\left|\dfrac{a^2+b^2-ab}{ab\left(a-b\right)}\right|\) là số hữu tỉ hay A là số hữu tỉ
Chứng minh bừa :))
\(a\ne b=>\left(a-b\right)^2>0=>\dfrac{1}{\left(a-b\right)^2}>0\)
Tương tự
\(\dfrac{1}{\left(b-c\right)^2}>0\)
\(\dfrac{1}{\left(c-a\right)^2}>0\)
\(=>M=\sqrt{\dfrac{1}{\left(a-b\right)^2}+\dfrac{1}{\left(b-c\right)^2}+\dfrac{1}{\left(c-a\right)^2}}>0\)
Vậy B tồn tại => B là số hữu tỉ
Lời giải:
\(\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(a-c)^2}=(\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a})^2-2(\frac{1}{(a-b)(b-c)}+\frac{1}{(b-c)(c-a)}+\frac{1}{(a-b)(c-a)})\)
\(=(\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a})^2-2.\frac{c-a+a-b+b-c}{(a-b)(b-c)(c-a)}=(\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a})^2\)
\(\Rightarrow \sqrt{\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}}=|\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}|\) là số hữu tỷ (đpcm)
bạn tham khảo nhé : https://olm.vn/hoi-dap/detail/106812735697.html
không hiện link thì mình gửi qua tin nhắn nhé
\(a,b\ne0\)
\(\sqrt{\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{\left(a+b\right)^2}}\)
\(=\sqrt{\dfrac{b^2\left(a+b\right)^2+a^2\left(a+b\right)^2+a^2b^2}{a^2b^2\left(a+b\right)^2}}\)
\(=\sqrt{\dfrac{\left(a^2b^2+2ab^3+b^4\right)+\left(a^4+2a^3b+a^2b^2\right)+a^2b^2}{a^2b^2\left(a+b\right)^2}}\)
\(=\sqrt{\dfrac{\left(a^4+2a^2b^2+b^4\right)+2ab\left(a^2+b^2\right)+a^2b^2}{a^2b^2\left(a+b\right)^2}}\)
\(=\sqrt{\dfrac{\left(a^2+b^2+ab\right)^2}{a^2b^2\left(a+b\right)^2}}=\left|\dfrac{a^2+b^2+ab}{ab\left(a+b\right)}\right|\)
Do \(a,b\) là số hữu tỉ nên \(\left|\dfrac{a^2+b^2+ab}{ab\left(a+b\right)}\right|\) cũng là số hữu tỉ.
\(\Rightarrowđpcm\)