Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta c/m 1) \(c< 0\)và \(\sqrt{a+b}=\sqrt{a+c}+\sqrt{b+c}\Rightarrow a,b>0\) và \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)
2) \(a,b>0\)và \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\Rightarrow c< 0\)và \(\sqrt{a+b}=\sqrt{a+c}+\sqrt{b+c}\)
Thật vậy ĐK: a+c>0, b+c>0 mà c<0 \(\Rightarrow a,b>0\)
\(\sqrt{a+b}=\sqrt{a+c}+\sqrt{b+c}\Rightarrow a+b=a+c+b+c+2\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\)
\(\Rightarrow-c=\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\Rightarrow\hept{\begin{cases}c< 0\\c^2=ab+ac+bc+c^2\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}c< 0\\ab+bc+ca=0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}c< 0\\\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\end{cases}}}\)
\(\Rightarrow\)đpcm
2) \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\Rightarrow\frac{1}{c}=-\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\)mà \(a,b>0\Rightarrow c< 0\)
\(\frac{1}{c}=-\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\Rightarrow c=\frac{-ab}{a+b}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+c=a-\frac{ab}{a+b}=\frac{a^2}{a+b}\\b+c=b-\frac{ab}{a+b}=\frac{b^2}{a+b}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\sqrt{a+c}+\sqrt{b+c}=\frac{a}{\sqrt{a+b}}+\frac{b}{\sqrt{a+b}}=\frac{a+b}{\sqrt{a+b}}=\sqrt{a+b}\)
\(\Rightarrow\)Đpcm
a) bđt cosi
b) \(\left(\sqrt{a+b}\right)=a+b\)
\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2=a+b+2\sqrt{ab}\)
\(a+b+2\sqrt{ab}>a+b\)
=> đpcm
c) xét hiệu \(a-\sqrt{a}+\frac{1}{4}+b-\sqrt{b}+\frac{1}{4}\ge0\)
d)https://olm.vn/hoi-dap/question/1003405.html
nè ngại làm
ý a, áp dụng BĐT cô si có
a + b >= căn ab dấu = xay ra a=b
b + c >= căn bc dau = xay ra khi b=c
c+a >= căn ac dau = xay ra khi a=c
công tung ve vao. rut gon ta dc điều phải chung minh
Làm chữa lỗi phát:v Đến giờ mới nghĩ ra(thực ra là tình cờ xem lại ngày xưa:(
\(VT=\Sigma\frac{\sqrt{\left(a^2+b^2\right)2ab}}{a^2+b^2}\ge\Sigma\frac{2ab}{a^2+b^2}+3-3\)
\(=\Sigma\frac{\left(a+b\right)^2}{a^2+b^2}-3\ge\frac{\left[2\left(a+b+c\right)\right]^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}-3\)
\(=\frac{2\left(a+b+c\right)^2}{\left(a^2+b^2+c^2\right)}-3=\frac{2\left(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\right)}{a^2+b^2+c^2}-3\)
\(=\frac{4\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a^2+b^2+c^2}-3=1\)(qed)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = 1; c = 0 và các hoán vị (xét sơ sơ thôi chớ xét chi tiết em không biết làm đâu:v)
P.s: Chả biết có đúng hay không nữa:(( Lần này mà không đúng thì khổ.
Mẫu không âm+ quy đồng
\(\frac{1+a+b}{2}\ge\frac{1+a+b+ab}{2+a+b}\)(1)
<=> \(2+3\left(a+b\right)+\left(a+b\right)^2\ge2+2a+2b+2ab\)
<=> \(a^2+b^2+a+b\ge0\) luôn đúng vì a; b không âm
Do đó (1) đúng
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = 0
\(A=\left(\sqrt{5}-1\right)\frac{5+\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}\left(5-1\right)}{2\sqrt{5}}=2\)
\(B=\frac{4}{\sqrt{x}+2}-\frac{\sqrt{x}-6}{x+2\sqrt{x}}=\frac{4\sqrt{x}-\sqrt{x}+6}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}=\frac{3\left(\sqrt{x}+2\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}\)
