Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1 .
Từ gt : \(2ab+6bc+2ac=7abc\)và \(a,b,c>0\)
Chia cả hai vế cho abc > 0
\(\Rightarrow\frac{2}{c}+\frac{6}{a}+\frac{2}{b}=7\)
Đặt \(x=\frac{1}{a},y=\frac{1}{b},z=\frac{1}{c}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x,y,z>0\\2z+6x+2y=7\end{cases}}\)
Khi đó : \(C=\frac{4ab}{a+2b}+\frac{9ac}{a+4c}+\frac{4bc}{b+c}\)
\(=\frac{4}{2x+y}+\frac{9}{4x+z}+\frac{4}{y+z}\)
\(\Rightarrow C=\frac{4}{2x+y}+2x+y+\frac{9}{4x+z}+4x+z+\frac{4}{y+z}+y+z\)\(-\left(2x+y+4x+z+y+z\right)\)
\(=\left(\frac{2}{\sqrt{x+2y}}-\sqrt{x+2y}\right)^2+\left(\frac{3}{\sqrt{4x+z}}-\sqrt{4x+z}\right)^2\)\(+\left(\frac{2}{\sqrt{y+z}}-\sqrt{y+z}\right)^2+17\ge17\)
Khi \(x=\frac{1}{2},y=z=1\)thì \(C=17\)
Vậy GTNN của C là 17 khi a =2; b =1; c = 1
2 .
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :\(1+b^2\ge2b\)nên
\(\frac{a+1}{1+b^2}=\left(a+1\right)-\frac{b^2\left(a+1\right)}{b^2+1}\)
\(\ge\left(a+1\right)-\frac{b^2\left(a+1\right)}{2b}=a+1-\frac{ab+b}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+1}{1+b^2}\ge a+1-\frac{ab+b}{2}\left(1\right)\)
Tương tự ta có:
\(\frac{b+1}{1+c^2}\ge b+1-\frac{bc+c}{2}\left(2\right)\)
\(\frac{c+1}{1+a^2}\ge c+1-\frac{ca+a}{2}\left(3\right)\)
Cộng vế theo vế (1), (2) và (3) ta được:
\(\frac{a+1}{1+b^2}+\frac{b+1}{1+c^2}+\frac{c+1}{1+a^2}\ge3+\frac{a+b+c-ab-bc-ca}{2}\left(^∗\right)\)
Mặt khác : \(3\left(ab+bc+ca\right)\le\left(a+b+c\right)^2=9\)
\(\Rightarrow\frac{a+b+c-ab-bc-ca}{2}\ge0\)
Nên \(\left(^∗\right)\) \(\Leftrightarrow\frac{a+1}{1+b^2}+\frac{b+1}{1+c^2}+\frac{c+1}{1+a^2}\ge3\left(đpcm\right)\)
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1\)
Chúc bạn học tốt !!!
Dạng này nhìn mệt vãi:(
Do b > 0 nên chia hai vế của giả thiết cho b, ta được: \(a+\frac{2}{b}\le1\)
Bây giờ đặt \(a=x;\frac{2}{b}=y\). Bài toán trở thành:
Cho x, y là các số dương thỏa mãn \(x+y\le1\). Tìm Min:
\(P=x+y+\frac{1}{x^2}+\frac{8}{y^2}\). Quen thuộc chưa:v
Ko biết có tính sai chỗ nào không, nhưng hướng làm là vậy đó!
\(Q=\frac{1}{a^2+b^2}+2012+\frac{1}{ab}+4ab.\)
Ta có \(M=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{ab}+4ab=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}+8ab-4ab\)
Áp dụng bđt Cauchy ta có
\(M\ge\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+2\sqrt{\frac{1}{2ab}.8ab}-\left(a+b\right)^2=7\)
=> \(Q\ge2012+7=2019\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=\(\frac{1}{2}\)
Vậy......
\(Q=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{2012ab+1}{ab}+4ab=\left(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\right)+\left(4ab+\frac{1}{4ab}\right)+\frac{1}{4ab}+2012\)
Áp dụng bđt \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y};\left(x+y\right)^2\ge4xy\),ta có:
\(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\ge\frac{4}{a^2+b^2+2ab}=\frac{4}{\left(a+b\right)^2}\ge\frac{4}{1}=4\)
\(\left(4ab+\frac{1}{4ab}\right)^2\ge4.4ab\cdot\frac{1}{4ab}=4\Rightarrow4ab+\frac{1}{4ab}\ge2\)
\(\left(a+b\right)^2\ge4ab\Rightarrow\frac{1}{ab}\ge\frac{4}{\left(a+b\right)^2}\ge\frac{4}{1}=4\Rightarrow\frac{1}{4ab}\ge1\)
\(\Rightarrow Q\ge4+2+1+2012=2019\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=1/2
\(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}=2\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{1+a}=1-\frac{1}{1+b}+1-\frac{1}{1+c}=\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}\\\frac{1}{1+b}=1-\frac{1}{1+a}+1-\frac{1}{1+c}=\frac{a}{1+a}+\frac{c}{1+c}\\\frac{1}{1+c}=1-\frac{1}{1+b}+1-\frac{1}{1+a}=\frac{b}{1+b}+\frac{a}{1+a}\end{cases}}\)
Áp dụng bđt AM-GM:
\(\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}\ge2\sqrt{\frac{ab}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}}\)
\(\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}\ge2\sqrt{\frac{bc}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\)
\(\frac{a}{1+a}+\frac{c}{1+c}\ge2\sqrt{\frac{ac}{\left(1+a\right)\left(1+c\right)}}\)
Nhân theo vế: \(\frac{1}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\ge\frac{8abc}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\)
\(\Leftrightarrow abc\le\frac{1}{8}."="\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{2}\)